Segmento de línea, suma de ángulos suplementarios a los internos.

Question

Me cuesta entender este dibujo. Esencialmente se trata de encontrar la suma de los ángulos suplementarios a los ángulos internos de un polígono no estándar. Tengo la respuesta como aproximadamente 720 grados por la medición, pero mi única pista de cómo es el hecho de que hay esencialmente 2 revoluciones lo que significa que la suma de exterior sería dos veces la de un solo polígono estándar (360 grados).

Salud, J

Answer 1

Considera cada uno de los vértices del polígono. Supongamos que el pequeño ángulo que has dibujado allí es un arco de círculo unitario centrado en ese vértice. Entonces el ángulo en radianes es igual a la longitud de esa curva. Ahora considera dos vértices vecinos cualesquiera. Puedes ver que si mueves uno de los arcos a la circunferencia centrada en uno de los vértices, los dos arcos se unen en un arco más largo, cuya longitud es la suma de los dos ángulos. Ahora empieza en un vértice $x$ y atravesar el polígono de vértice a vértice, moviendo el arco dibujado allí al círculo centrado en $x$ . Una vez unidos todos los arcos, se obtiene una curva que se desplaza alrededor del círculo completo exactamente dos veces. La longitud de esta curva es el doble de la circunferencia del círculo, $2\cdot2\pi$ que corresponde al ángulo $2\cdot 360^\circ=720^\circ$ .