Hoja de ruta para el aprendizaje del análisis armónico

Question

En definitiva, me interesa conocer los distintos enfoques que se pueden adoptar para aprender en profundidad el análisis armónico moderno. Sin embargo, la pregunta merece más detalles. Actualmente, estoy leyendo el "Análisis clásico de Fourier" de Loukas Grafakos (he avanzado hasta el capítulo 3). Mi intención es leer este libro y luego pasar al segundo volumen (del mismo autor) "Análisis de Fourier moderno". También he estudiado el análisis general a nivel de "Análisis Real y Complejo" de Walter Rudin (primeros 15 capítulos). En particular, si se requieren requisitos previos adicionales para las referencias recomendadas, sería útil que los indicara.

Mi petición es saber cómo se debe proceder después de leer estos dos volúmenes y si hay fuentes adicionales que se puedan utilizar para obtener una comprensión más profunda del tema. Además, sería bueno escuchar sugerencias de algunos temas importantes en el tema del análisis armónico que son intereses actuales de investigación y referencias que uno podría usar para entender mejor estos temas.

Sin embargo, entiendo que a medida que uno se adentra en un tema como el análisis armónico, necesitaría entender varias áreas relacionadas en mayor profundidad como el análisis funcional, las EDP y varias variables complejas. Por lo tanto, las sugerencias de cómo uno puede incorporar estos temas en su aprendizaje del análisis armónico son bienvenidas. (Por supuesto, ya que esto es principalmente una petición de una hoja de ruta en el análisis armónico, podría ser mejor mantener cualquier recomendación de referencias en estos temas al menos un poco relacionados con el análisis armónico).

En particular, me interesan varias conexiones entre las EDP y el análisis armónico y el análisis funcional y el análisis armónico. Sería bueno conocer referencias que discutan estas conexiones.

¡Muchas gracias!

Detalles adicionales : Gracias por sugerir los libros de Stein sobre análisis armónico. Sin embargo, no estoy seguro de cómo se deben leer estos libros. Por ejemplo, parece que hay un solapamiento entre los libros de Grafakos y Stein, pero el "Análisis armónico" de Stein parece muy parecido a una monografía de investigación y, aunque es, no hace falta decirlo, un libro excelente, no estoy muy seguro de qué requisitos previos hay que tener para abordarlo. Por el contrario, los otros dos libros de Stein son más elementales, pero estaría bien conocer el tipo de material que se puede encontrar en estos dos libros pero que no se puede encontrar en Grafakos.

Answer 1

Depende mucho de las áreas del análisis armónico que te interesen, por supuesto. Los libros de Grafakos son excelentes y realmente muy avanzados, y si quieres seguir en ese estilo de análisis armónico, entonces no hay mucho más que puedas hacer que empezar a leer muchos de los artículos que él cita. Por otro lado, hay áreas interesantes en el análisis armónico que no están cubiertas por Grafakos. Yo recomendaría un par de libros de texto de Stein: Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de las funciones y Análisis armónico: Métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Probablemente haya otros libros de texto interesantes sobre operadores integrales singulares que puedan ser útiles (aunque no se me ocurre ninguno). Otra área interesante (y muy moderna) es la de las ondículas: El libro de Mayer Wavelets y operadores es probablemente el lugar para empezar. Otros recursos útiles son los apuntes de las clases o los artículos de estudio sobre el análisis armónico disponibles en Internet. Por ejemplo, Pascal Auscher impartió un curso en la ANU sobre el análisis armónico con métodos de variable real el año pasado, y uno de los estudiantes de la clase escribió sus notas, que están disponibles aquí . Del mismo modo, Terry Tao impartió un curso hace unos años, y tiene notas de clase aquí y aquí . Por último, si quiere aprender sobre el análisis armónico con una inclinación teórica de operadores, hay notas de clase útiles aquí y aquí .

Answer 2

Ya que has leído "Análisis real y complejo" de Rudin, estás preparado para atacar el "Análisis de Fourier en grupos" de Rudin, que es una lectura igualmente agradable.

Todavía valioso por el vínculo con la teoría del álgebra de Banach, es "An introduction to abstract harmonic analysis" de L.H. Loomis.

Para las conexiones con las representaciones unitarias: la 2ª mitad de "C*-algebras" de Dixmier, o mejor R. Howe y E.C. Tan "Non-abelian harmonic analysis (applications of $SL_2(\mathbb{R})$ )" (¡todo está en el subtítulo!)

Si quieres ver las conexiones con la teoría de los números, te recomiendo "Basic number theory" de Weil.

Ahora puedes adivinar mi edad por esta lista de referencias.

Answer 3

En mi opinión, el tema clásico es bastante diferente de la forma moderna y evolucionada del tema

Empecé por el lado clásico con la obra de Yitzhak Katznelson Introducción al análisis armónico : Esto está en el campo clásico: Mucho sobre las series de Fourier. Muy claro; muy buenas pruebas. Aprenderás muchas joyas sobre las series trigonométricas. En este campo clásico, el tratado de Zygmund Series trigonométricas (dos volúmenes) merece una mención. También es un libro muy bonito.

Para el "análisis armónico" como campo moderno, deberías hacerte con un ejemplar de los libros de Stein, como en la respuesta de Peter. El difunto Tom Wolff tiene un conjunto de notas muy útil al respecto, disponible (creo que todavía) de la página web de Izabella Laba .

También secundo la recomendación de mirar los antiguos apuntes dvi/pdf de Tao en su web y posteriormente en su blog. Por ejemplo, recuerdo haber encontrado su post sobre la interpolación de $L^p$ espacios muy agradables.

Answer 4

Uno de mis libros favoritos para el análisis armónico es Fourier analysis de Javier Duoandikoetxea. De hecho, lo recomendaría como primer puerto de escala para el aprendizaje del análisis armónico si ya tienes algo de experiencia (como un curso de grado/postgrado en análisis armónico). Es una referencia estupenda para los antecedentes, independientemente de lo que quieras hacer con el análisis armónico. Yo lo abordaría antes de pasar al libro de Elias Stein "harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals" (también un gran libro).

Como se mencionó anteriormente, realmente depende de qué tipo de análisis armónico te interesa, pero sin duda recomendaría esos, así como el análisis armónico de Katznelson, los dos libros de volumen de Grafakos, ambos libros de Stein sobre "introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos" y "integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de las funciones" son útiles para las integrales singulares. También recomendaría un tratado sobre series trigonométricas de Bary. Los dos volúmenes de Zygmund sobre series trigonométricas son buenos, pero yo abordaría algunos otros libros sobre análisis armónico antes de ir a por ellos. Es bastante complejo en comparación con las otras referencias y no te ayudará mucho si no tienes ya una base de análisis armónico/Fourier.

Si le gusta el análisis armónico abstracto, busque "Principios del análisis armónico" de Anton Deitmar.

Harmonic analysis and PDEs de Christ, Kenig y Sadosky es bueno para direcciones específicas (como PDEs, probabilidad, curvatura y teoría espectral).

El sitio web de Terence Tao es estupendo para los apuntes de clase (¡todos los recursos académicos de su sitio web son estupendos!)

Por último, "lectures on nonlinear wave equations", de Christopher Sogge, y "nonlinear dispersive equations", de Terence Tao, son libros estupendos que se centran en las EDP dispersivas utilizando técnicas del análisis armónico (como la teoría de Littlewood-Paley).

Para añadir una referencia adicional, consulte "Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory" también de Elias Stein

Answer 5

Para el enlace a las aplicaciones puede probar el de Palle Jorgensen: Análisis y Probabilidad. Wavelets, Señales, Fractales. Como característica especial, este libro contiene un diccionario del uso de términos técnicos en diferentes disciplinas.