Operador hermitiano y rango numérico

Question

Cómo demostrar que para un espacio de Hilbert complejo $\mathcal H$ un operador $T:\mathcal H \to \mathcal H$ es hermitiano si y sólo si su rango numérico $W(T)$ es real, donde $W(T)=\{\langle Tx,x \rangle \ : \ ||x||=1\}$ .

Answer 1

Si $W(T)$ es real, $\langle Tx, x\rangle$ es real para todos $x$ . Así, $$\langle Tx, x\rangle = \overline{\langle Tx, x\rangle} = \langle x, Tx \rangle = \langle T^* x, x \rangle $$ así que $\langle (T - T^*) x, x\rangle = 0$ . Ahora utilice el identidad de polarización para el producto interior $(x,y) \to \langle (T - T^*) x, y\rangle$ .