Establecer la integral triple para la región entre cilindros $x^2 + y^2 = 9 \quad x^2 + y^2 = 16 \quad z = 4+x^2$ y $0xy$ avión

Question

Me encontré con un problema que no estoy seguro de la respuesta correcta. La pregunta es:

Establezca la integral triple para la región entre $x^2 + y^2 = 9 \quad x^2 + y^2 = 16 \quad z = 4+x^2$ y $0xy$ avión

Lo que tengo hasta ahora, usando coordenadas cilíndricas, es

$$ 3 \leq \rho \leq 4\\ 0 \leq \theta \leq 2\pi\\ 0 \leq z \leq 4+(\rho cos \theta)^2 $$

¿Es correcta mi respuesta?

Answer 1

¿Es correcta mi respuesta?

A mí me parece bien. Ahora sólo haz

$$V = \iiint \rho d \rho d \theta dz$$

con esos límites de integración.

Answer 2

Parece bueno. La p entre tres y cuatro establece un cilindro hueco de espesor uno a lo largo del eje z, que es exactamente lo que prescriben las dos primeras ecuaciones. En cuanto a la z=4+x^2, simplemente enchufando pcostheta funciona en este caso porque la función nunca interseca el plano xy o cualquier otra cosa que causaría complicaciones. En cuanto a lo de 0 a 2pi, por supuesto que es correcto porque no hay nada que limite el cilindro a un hemisferio u otro, por ejemplo una raíz cuadrada que elimine los valores negativos. En lo que a mí respecta, tus límites son completamente correctos.