¿Producto cruzado de dos sumas de tres vectores?

Question

Esto parece una pregunta simple pero no pude encontrar ningún lugar para verificar

¿Es cierto que:

$$(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})\times (\mathbf{d}+\mathbf{e}+\mathbf{f}) = (\mathbf{a}\times \mathbf{d})+(\mathbf{a}\times\mathbf{e})+(\mathbf{a}\times\mathbf{f}) + (\mathbf{b}\times \mathbf{d})+(\mathbf{b}\times\mathbf{e})+(\mathbf{b}\times\mathbf{f}) + (\mathbf{c}\times \mathbf{d})+(\mathbf{c}\times\mathbf{e})+(\mathbf{c}\times\mathbf{f}) $$

Me pregunto si la siguiente identidad es cierta.

Answer 1

Esto ya fue anserado en los comentarios, así que lo escribiré en las respuestas del comentario de Colescu. Sabemos que el producto cruzado es distributivo, es decir $(a+b)\times c=a\times c + b \times c$ y $c×(a+b)=c×a+c×b$

Podemos hacer esto un montón de veces desde la izquierda para llegar al lado derecho de la ecuación $(a+b+c)×(d+e+f)=(a×d)+(a×e)+(a×f)+(b×d)+(b×e)+(b×f)+(c×d)+(c×e)+(c×f)$

Así que empezamos con $(a+b+c)×(d+e+f)$ Seguiremos utilizando la propiedad distributiva hasta llegar a la ecuación deseada.

$$(a+b+c)×(d+e+f)$$ $$=(a+[b+c])×(d+e+f)$$ $$=(a×(d+e+f))+([b+c]×(d+e+f))$$ $$=(a×(d+e+f))+(b×(d+e+f))+(c×(d+e+f))$$ $$=(a×(d+[e+f]))+(b×(d+[e+f]))+(c×(d+[e+f]))$$ $$=(a×d+a×[e+f])+(b×d+b×[e+f])+(c×d+c×[e+f])$$ $$=(a×d+a×e+a×f)+(b×d+b×e+b×f)+(c×d+c×e+c×f)$$ $$=(a×d)+(a×e)+(a×f)+(b×d)+(b×e)+(b×f)+(c×d)+(c×e)+(c×f)$$