Otra pregunta sobre la continuidad

Question

Dado $f(x)=3x+9$ y $g=|f(x)+3+h(x)| $ y otra h(x) tal que $h(x)=0$ . Demostrar que $g$ es diferenciable en cada punto $x \in R$ , demuestre que: si $h(x)$ es elemental, entonces $g$ también es diferenciable

Answer 1

Si g es diferenciable en $x=0$ entonces el límite $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}$ existe.

Desde $f(0)=0$ entonces $g(0)=0$ Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$ existe.

Pero esto también significa que existen límites laterales. Uno de esos límites es no negativo y el otro es no positivo, lo que significa que $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}=0$ Así que.., $g'(0)=0$ .

Ahora compara los límites laterales de $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ hasta los límites laterales de $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$ y llegarás a la conclusión de que $f'(0)=0$ .

Answer 2

Como se señala en los comentarios, la afirmación es falsa si $f$ no es continua. Por otro lado, si $f\ \textit{is} $ continua en $x=0,$ entonces $g(0)=\lim |f(x)|=0\ $ (porque $f(0)=0.)$

De ello se desprende que $\frac{|f(h)|}{h}=\frac{g(h)}{h}\to L$ como $h\to 0$ por hipótesis.

Si $h>0,$ entonces

$-\frac{|f(h)|}{h}\le \frac{f(h)}{h}\le \frac{|f(h)|}{h}$

mientras que si $h<0,$ entonces

$-\frac{|f(h)|}{h}\ge \frac{f(h)}{h}\ge \frac{|f(h)|}{h}.$

Dejar $h\to 0$ desde la izquierda y la derecha, obtenemos simultáneamente,

$-L\le \overline {\lim}\frac{f(h)}{h}\le L$ y $-L\ge \overline {\lim}\frac{f(h)}{h}\ge L$ así que $\overline {\lim}\frac{f(h)}{h}=0$ .

De la misma manera, $\underline {\lim}\frac{f(h)}{h}=0.$

Tenemos entonces $\lim \frac{f(h)}{h}=0$ así que $g'(0)=f'(0)=0.$