Derivada de Radon Nikodym de medidas sobre $\mathcal{B}_{(0,\infty)}$ .

Question

(a) Demuestre que hay a lo sumo una medida $\nu$ en $\mathcal{B}_{(0,\infty)}$ que satisface las siguientes condiciones:

1. $\nu((1,e]) = 1$
2. $\nu(cA) = \nu(A)$ por cada $c>0$ y $A \in \mathcal{B}_{(0,\infty)}$ .

(b) Suponiendo que la medida de la parte (a) existe y es absolutamente continua con respecto a la restricción de la medida de Lebesgue a $\mathcal{B}_{(0,\infty)}$ , encuentra la derivada de Radon-Nikodym. ¿Era correcta la suposición?

He podido hacer la parte (a), pero no tengo ni idea de cómo hacer la parte (b). ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La medida $\mu$ es invariable bajo la multiplicación, mientras que $m$ es invariante bajo la adición. Definir una nueva medida $\nu(A)=\mu(e^{A})$ para $A \in \mathcal{B}_{(-\infty,\infty)}$ . Entonces $$ \nu(t+A)=\mu(e^{t}e^{A})=\mu(e^{A})=\nu(A), $$ y $$ \nu([0,1))=\mu([1,e))=1. $$ No hay muchas posibilidades.

Answer 2

Supongamos que $d\nu=fd\lambda$ , donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue.

Entonces, para cualquier $A$ y cualquier $c$ que tienes: $$ \int_A f(x) d\lambda(x)=\nu(A)=\nu(cA)=\int_{cA} f(x)d\lambda(x) $$ Ahora utilice la integración por sustitución y vea lo que puede averiguar sobre $f$ .