Encuentre el tamaño de la muestra m *algebraicamente* para que la probabilidad de que haya al menos 1 defectuoso sea del 0,90

Question

1000 artículos, 10 defectuosos, m seleccionados al azar para su inspección.

Encuentre el valor de m tal que la probabilidad de seleccionar al menos 1 defectuoso sea de 0,90.

$$p = 1 - \frac{{990}\choose{m}}{{1000}\choose{m}} = .90$$

es decir, 1 menos la probabilidad de seleccionar ningún artículo defectuoso.

Simplificando un poco (si ayuda):

$$ \frac{{990}\choose{m}}{{1000}\choose{m}} = \frac{990!}{(990-m)!m!} \div \frac{1000!} {(1000-m)!m!} = \frac{990!}{(990-m)!m!} \times \frac{(1000-m)!m!} {1000!} $$

$$ = \frac{(1000-m)!}{(990-m)!} \times \frac{990!}{1000!} = \frac{(1000-m)!}{(990-m)!} \div \frac{1000!}{990!} = \frac{(1000-m)P10}{1000P10}. $$

Así que

$$1 - \frac{(1000-m)P10}{1000P10} = .90 \implies \frac{(1000-m)P10}{1000P10} = .10$$

Por ensayo y error conseguí $m = 205$ pero quiero saber si hay una forma algebraica de encontrar una solución para $m$ .

Answer 1

Para X ~ Binomio{ $n = \space?, p = 0.01, k = 0$ }, necesita encontrar $$P(X = 0) = 0.1 \color{blue} \implies \binom{n}{0}(0.01)^0(0.99)^{n} = 0.1$$

Ya que los dos primeros términos son la unidad, y luego tomando los logaritmos: $$(0.99)^{n} = 0.1 \color{blue} \implies n = \frac{\text{log } 0.1}{\text{log } 0.99} \approx 229$$

Ten en cuenta que la respuesta que obtengo es diferente a la tuya.