Polinomios cúbicos que generan la misma extensión?

Question

Para cuadrática extensiones podemos determinar fácilmente cuándo $\mathbb{Q}(\sqrt{a})=\mathbb{Q}(\sqrt{b})$ mediante la comprobación de si $a/b$ es un cuadrado y esto es fácil de demostrar. Me preguntaba si hay alguna buena reglas para las extensiones generado por las raíces de polinomios cúbicos? Hay otros casos que son fáciles de trabajar? ¿Esta simplificar todo si trabajamos en un local de campo, por ejemplo, el $p$-adics?

EDIT: Para solucionar la ambigüedad de la pregunta, voy a cambiar de la siguiente manera. En el cuadrática caso, podemos escribir cada polinomio en la forma $X^2-a$ después de un cambio lineal de variables, por lo que tener dos polinomios cuadráticos, hacemos el cambio de variables y comprobar si el resultado polinomios satisfacer la plaza de la prueba. Si lo hacen, entonces su división de campos son los mismos.

Para el cúbicos caso, podemos por un cambio lineal de variables escribir cualquier cúbicos como $X^3+aX+b$, así que la pregunta es, entonces, si hay una manera fácil para probar si dos polinomios tienen el mismo división de los campos?

Supongo que esto es algo equivalente a la clasificación de todos los $C_3$ $S_3$ extensión de cualquiera de las $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Q}_p$. Esto depende de si o no un $S_3$ extensión es siempre la división de campo de un cúbicos.

Answer 1

Yo creo que hay algo injusto en su pregunta (injusto para los polinomios cúbicos).

Si me preguntan si $\mathbb Q(\sqrt 5) = \mathbb Q(\varphi)$ donde $\varphi$ es la proporción áurea, usted puede utilizar su prueba.

Si usted pregunta si $\mathbb Q (\sqrt[3]a) = \mathbb Q(\sqrt[3]b)$, entonces la situación es análoga y se comprueba si $a/b$ o $a/b^2$ son cubos.

Answer 2

Supongamos que f y g son monic polinomios irreducibles en Q[X] y que ambos tienen una raíz en el mismo cúbicos de extensión F., a Continuación, sus discriminantes difieren desde el discriminante de F por una plaza, por lo que su discriminantes diferir por una plaza. A diferencia de en el cuadrática caso de que esto es sólo una condición necesaria. Si f y g tienen el mismo discriminante, para ver si tienen una raíz en común cúbicos de extensión, usted tiene que mirar a su factorizations modulo los números primos no dividir sus discriminantes. Si f y g tienen un número diferente de factores modulo tal p, entonces no.