Continuidad de una función integral

Question

Dejemos que $f(x) \in L^1 (\mathbb{R})$ y que $g$ sea una función acotada, continua e integrable en $\mathbb{R}$ . Quiero demostrar que $F(x) = \int_{\mathbb{R}} f(y) g(xy) dy$ es continua.

Por definición, tengo que comprobar que $|F(x_1) - F(x_2)|$ es lo suficientemente pequeño si $|x_1-x_2|$ es lo suficientemente pequeño. Tengo problemas con la estimación $|F(x_1)-F(x_2)| \le \int_{\mathbb{R}}|f(y)||(g(x_1 y) - g(x_2 y))| dy$ ya que es difícil de estimar $g(x_1 y) - g(x_2 y)$ más inteligente que $2 \sup_{\mathbb{R}} g$ cuando $y$ es lo suficientemente grande, por lo que no entiendo cómo utilizar la continuidad de $g(x)$ . Cualquier idea será apreciada.

Answer 1

Arreglar $x\in\mathbb{R}$ . Sea $x_n$ sea una secuencia que tiende a $x$ . Para cada $y\in\mathbb{R}$ la secuencia $f(y)g(x_ny)$ converge a $f(y)g(xy)$ porque $g$ es continua. Además, como $g$ también está acotado, tenemos, para todo $n$ y todos $y$ , $$|f(y)g(x_ny)|\leq M|f(y)|$$ para algunos $M>0$ . Por lo tanto, ya que $f\in L^1(\mathbb{R})$ se puede aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue para deducir que $F(x_n)\to F(x)$ como $n\to\infty$ .