Aplicaciones "importantes" de los números p-ádicos fuera del álgebra (y la teoría de números).

Question

Seguramente, $\mathbb{Z}_p$ y $\mathbb{Q}_p$ (y sus extensiones) son muy importantes para el álgebra y la teoría de números. ¿Tienen alguna aplicación importante fuera del álgebra (que pueda explicar fácilmente a un estudiante)? Aquí no exijo que las aplicaciones sean (puramente) "matemáticas"; por ejemplo, me pregunto si los números p-ádicos tienen aplicaciones a la física (¿fuera de la teoría de cuerdas?). Además, también me interesan aquellas aplicaciones que son parcialmente 'algebraicas', y sin embargo son importantes para algunas otras partes de las matemáticas.

Answer 1

Bien, puedes demostrar que un antiguo algoritmo de codificación aritmética puede ser reformulado en términos p-ádicos. Para mí, esto hace que su variante integral (y la única que funciona) sea fácilmente comprensible y la hace extensible para p > 2. Ver:

https://arxiv.org/abs/0704.0834

codificación aritmética p-ádica en Contemporary Mathematics v. 508, 2010

Answer 2

En mi respuesta a esta pregunta de MO relacionada He tratado de explicar la utilidad de utilizar $\mathbb{Q}_p$ basado en modelos de juguete con el fin de comprender mejor las cuestiones de la teoría matemática de campos cuánticos en la física.

Answer 3

No me convencen las aplicaciones de $p$ -números arcaicos (o adèles) a la física teórica, aunque no soy físico. Creo que la física matemática p-ádica no tiene hasta ahora nada que ver con los fenómenos reales. Pero, por supuesto $p$ -El análisis de la adicción es útil en las matemáticas. $p$ -El análisis de la realidad tiene, por ejemplo, aplicaciones naturales en el $p$ -el programa de Langlands. La idea básica de ese programa es sustituir el campo $\mathbb C$ por un $p$ -campo de los ádicos cuando se consideran las representaciones lineales (de un $p$ -grupo de Lie o un grupo de Galois).

Hay aplicaciones obvias de $p$ -números arcaicos y adèles a la teoría analítica de los números a través del programa (clásico) de Langlands. Estas aplicaciones no son sólo algebraicas, ya que pueden, por ejemplo, predecir el comportamiento analítico de $L$ -funciones.

Otro ejemplo interesante es la existencia de una bonita topología localmente compacta, definida por Berkovich, sobre $p$ -de las variedades rígidas (variedades sobre ${\mathbb C}_p$ la terminación del cierre algebraico de ${\mathbb Q}_p$ ). Se obtienen así variedades análogas a las variedades complejas. Se pueden hacer cosas muy parecidas como la dinámica, los dessins d'enfant, la teoría del potencial, la integración de $1$ -formas, ... Los siguientes artículos de encuesta de Ducros (para los lectores franceses) son excelentes:

Geometría analítica $p$ -ádica: la teoría de Berkovich, Gazette des Mathématiciens 111 (2007), 12-27.

Espacios de análisis $p$ -ádica en el sentido de Berkovich, ponencia 958 del Seminario Bourbaki (marzo de 2006).

Esta es una teoría muy prometedora.

Answer 4

Al buscar en Google "análisis p-ádico aplicado" se obtienen resultados obviamente interesantes.