Aplicaciones "importantes" de los números p-ádicos fuera del álgebra (y la teoría de números).

Question

Seguramente, $\mathbb{Z}_p$ y $\mathbb{Q}_p$ (y sus extensiones) son muy importantes para el álgebra y la teoría de números. ¿Tienen alguna aplicación importante fuera del álgebra (que pueda explicar fácilmente a un estudiante)? Aquí no exijo que las aplicaciones sean (puramente) "matemáticas"; por ejemplo, me pregunto si los números p-ádicos tienen aplicaciones a la física (¿fuera de la teoría de cuerdas?). Además, también me interesan aquellas aplicaciones que son parcialmente 'algebraicas', y sin embargo son importantes para algunas otras partes de las matemáticas.

Answer 1

Esto no es algo que se pueda explicar a los estudiantes de licenciatura, pero la dinámica no arquimédica ha visto recientemente una serie de aplicaciones a la dinámica compleja clásica. (La no arquimediana es una dinámica sobre un campo con un valor absoluto no arquimediano, pero no es específicamente una extensión de $\mathbb{Q}_p$ .) Mencionaré un bello ejemplo, que es un teorema reciente de Matt Baker y Laura DeMarco. Sea $$f_c(x) = x^2+c$$ sea el polinomio cuadrático habitual, y para cualquier valor inicial $a$ , dejemos que $O_c(a)$ sea la órbita delantera de $a$ para el mapa $f_c$ . Es decir, $$O_c(a) = \{a,f_c(a),f_c^2(a),f_c^3(a),...\}$$ donde $f_c^n$ denota el $n$ La iteración de $f_c$ .

Teorema : Dejemos que $a$ y $b$ sean números complejos con $a^2\ne b^2$ . Entonces $$\{c\in\mathbb{C} : O_c(a) \text{ and } O_c(b) \text{ are both finite}\}$$ es un conjunto finito.

La prueba es en parte dinámica compleja, en parte teoremas de equidistribución (tanto en el complejo como en el $p$ -ádico), y en parte un paso de reducción en el que se trabaja en el espacio de Berkovich sobre un campo no arquimédico. Obsérvese que el enunciado del teorema es puramente una afirmación sobre los números complejos, pero la demostración requiere métodos no triviales del análisis no arquimédico.

Answer 2

Teorema de Monsky : no es posible disecar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área .

La demostración de este teorema se basa en los números 2-ádicos.

Answer 3

Teorema de Skolem: Sea $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ sea una secuencia de números complejos que satisface una relación lineal. Entonces el conjunto $Z=\{n \in \mathbb N,\ u_n=0\}$ es una unión finita de progresiones aritméticas en $\mathbb N$ (incluyendo la progresión aritmética de la relación 0, es decir, los puntos).

La única prueba que conozco utiliza de manera esencial $p$ -números arcaicos (y elementales $p$ -análisis de la vida cotidiana). Se puede explicar el enunciado a un estudiante de grado o incluso de bachillerato, y la prueba a cualquiera que tenga las nociones básicas sobre $p$ - los números de la época.

Answer 4

La conjetura (no resuelta) de Hilbert-Smith afirma que cualquier grupo localmente compacto que actúe fielmente sobre una variedad tiene que ser un grupo de Lie: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93Smith_conjecture

Sin embargo, resulta que basta con demostrarlo para $\mathbb{Z}_p$ y la conjetura se deduce demostrando que $\mathbb{Z}_p$ no tiene una acción fiel continua sobre una variedad.

Answer 5

El $p$ -adics surgen en la teoría de la homotopía. La razón principal es su utilidad en la teoría de las leyes formales de grupo.

También son relevantes en ciertas partes de la geometría algebraica, son (uno de) los primeros ejemplos de terminaciones.

Referencias:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_group#Lubin.E2.80.93Tate_formal_group_laws

http://arxiv.org/abs/1005.0119

http://arxiv.org/abs/0802.0996

El último se supone que enlaza con los otros. Por supuesto, todo esto es posterior al teorema de Quillen y al trabajo de muchas otras personas, como Mike Hopkins, Jack Morava, Haynes Miller, Doug Ravenel y Steve Wilson.