Una estructura casi compleja en una variedad grassmaniana

Question

Hola, Considero que el $\mathbb{R}^{n+2}$ con una métrica pseudo-riemanniana

$g(V, W)=V^{1}W^{1}+\ldots+V^{n}W^{n}-V^{n+1}W^{n+1}-V^{n+2}W^{n+2}$ . Esta sala denotará con $E_{2}^{n+2}$ .

¿Cómo puedo definir una estructura casi compleja en el colector grassmaniano $Gr_{n}^{+}(E_{2}^{n+2})$ de todos los n-planos orientados en el espacio?

Gracias y saludos Florian M.

Answer 1

Incluso se puede definir un holomorfo (es decir, casi complejo integrable) en este Grassmaniano. Para dar la definición es más fácil considerar en su lugar $Gr_2^{-}(E^{n+2}_{2})$ que obviamente es el mismo objeto.

Definición. Identificaremos el grassmaniano de dos planos con una parte de la cuádrica en $\mathbb CP^{n+1}$ . En concreto, dejemos que $\mathbb C^{n+2}$ sea la complejización de $\mathbb R^{n+2}$ : $\mathbb C^{n+2}=\mathbb R^{n+2}\oplus i \mathbb R^{n+2}$ . Sea $x_1,...,x_{n+2}$ sean las coordenadas en $\mathbb R^{n+2}$ de modo que la forma cuadrática correspondiente a la métrica es $x_1^2+...+x_{n}^2-x_{n+1}^2-x_{n+2}^2$ . Sea $z_1,...,z_n$ son las coordenadas acomplejadas, y sea $Q(z)=z_1^2+...+z_{n}^2-z_{n+1}^2-z_{n+2}^2$ sea la forma cuadrática complejizada.

Ahora, consideremos el cono cuádrico $Q(z)=0$ , en $\mathbb C^{n+2}$ ( $z=x+iy$ , $x,y\in \mathbb R^{n+2}$ ).
Observe que $Gr_2^{-}(E^{n+2}_{2})$ es naturalmente un subconjunto abierto de la proyectivización del cono $Q(z)=0$ . En efecto, para cualquier par de vectores de unión ortogonales $x\perp y$ en $\mathbb R^2\subset \mathbb R^{n+2}$ podemos asociar un vector complejo $z=x+iy$ , $z\in \mathbb C^{n+2}$ , satisfaciendo $Q(z)=0$ . La línea $\lambda z\subset \mathbb C^{n+2}$ es independiente de la elección de los vectores ortogonales de unión $x,y$ en $\mathbb R^2$ .

Es fácil ver que la estructura compleja así construida es invariante respecto a la acción de las isometrías de $\mathbb R^{n+2}$ en $Gr_2^{-}(E^{n+2}_{2})$ .

PS estructura holomórfica en coordenadas locales .

Para presentar un poco más explícitamente la estructura compleja anterior en el Grassmaniano podemos proceder de dos maneras. La primera es simplemente tomar algunas funciones meromorfas sobre la cuádrica y ver qué tipo de función obtenemos sobre el Grassmaniano. La función meromorfa más sencilla sería $\frac{z_k}{z_l}=\frac{x_k+iy_k}{x_l+iy_l}$ . Ahora bien, si se toma un biplano isotrópico abarcado por dos vectores ortogonales unitarios $x$ y $y$ el valor de la función anterior en el plano es precisamente $\frac{x_k+iy_k}{x_l+iy_l}$ (donde $x_k, x_l$ son las coordenadas correspondientes del vector $x$ y $y_k, y_l$ son $k$ y $l$ las coordenadas de $y$ ). Por lo tanto, esto te dice cómo construir muchas funciones meromorfas.

Segunda vía sería definir explícitamente el operador $J$ en el espacio tangente a un punto del Grassmaniano. Recordemos que el espacio tangente a un grassmaniano de $k$ -aviones $V\subset \mathbb R^{n+2}$ en el punto $V$ es $Hom(V,\mathbb R^{n+2}/V)$ . En nuestro caso $dim V=2$ y $V^{\perp}\cap V=0$ por lo que el espacio tangente se puede ver como $T_V=Hom(V,V^{\perp})$ . Queremos encontrar un $J$ en $T_V$ . Lo mejor es encontrar $J$ que es invariante bajo la acción del estabilizador de (orientado) $V$ en el grupo ortogonal. Este estabilizador es $SO(2)\times SO(n)$ . Denote por $I$ el operador $V\to V$ que gira $V$ por $90^0$ . Ahora podemos definir $J$ como sigue: para cualquier $A\in Hom(V,V^{\perp})$ , $J(A)=AI$ . Obviamente $J^2=-Id$ y $J$ se desplaza con $SO(2)\times SO(n)$ . Por último, hay que tener en cuenta que $J$ y $-J$ son los únicos dos operadores que satisfacen estas propiedades.

PPS. La métrica El espacio $Gr_2^{-}(E^{n+2}_{2})$ es un espacio simétrico tiene una métrica tal que para cada punto $p$ existe una isometría que fija $p$ e induciendo el mapa $-Id$ en $T_p$ . Para definir la métrica nos limitamos a utilizar el hecho de que $V$ y $V^{\perp}$ son espacios euclidianos y existe una forma cuadrática única hasta la constante en $Hom(V,V^{\perp})$ invariante bajo $SO(2)\times SO(n)$ . Esto le define una métrica sobre $T_V$ . La fijación de la involución $V$ y la preservación de la métrica viene dada por $V\oplus V^{\perp}\to -V\oplus V^{\perp}$ es decir, es $-Id$ en $V$ y $Id$ en $V^{\perp}$ . Un lugar para leer un poco sobre los espacios simétricos (y muchas otras cosas interesantes) es la sección 2.1 del libro de Donaldson Conferencias sobre grupos de Lie y geometría : http://www2.imperial.ac.uk/~skdona/LIEGROUPSCONSOL.PDF