La pregunta está contenida en el título; me refiero a los axiomas estándar ZFC. El enlace de la wiki: Hipótesis de Riemann . Existen algoritmos finitos que permiten decidir si hay ceros no triviales del $\zeta$ -función en los dominios cuya unión agota toda la franja $0<\Re z<1$ pero esto no parece ser el obstáculo para la indecidibilidad. ¿Hay otros argumentos?
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dgw
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No sé nada sobre los algoritmos de búsqueda del cero para $\zeta$ Así que sólo haré una pequeña observación que no requiere tales conocimientos: Si la Hipótesis de Riemann es falsa, entonces es demostrablemente falsa (en ZFC, o en cualquier sistema similar).
Esto se debe a que el teorema de Robin nos dice que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que, para todo natural $n \geq 5041$ la suma de los divisores de $n$ es menor que $e^{\gamma} n \log{\log{n}}$ ya que existen programas que calculan esta última cantidad con una precisión arbitraria, y por lo tanto pueden verificar si esta desigualdad se cumple para cualquier $n$ encontramos que la hipótesis de Riemann es una $\Pi_1$ es equivalente a la afirmación de que un programa de ordenador nunca produce un "NO" en cualquier entrada. (Aunque no estoy familiarizado con las pruebas del teorema de Robin, etc., asumo que se pueden llevar a cabo en ZFC, y así establecer la equivalencia pertinente dentro de ZFC). Puede haber formas más directas de establecer que la hipótesis de Riemann es una $\Pi_1$ como el conocimiento de algoritmos que enumeran con precisión arbitraria los ceros de $\zeta$ pero, en cualquier caso, está éste.
Por lo tanto, si la hipótesis de Riemann es falsa, entonces el programa de ordenador en cuestión produce un "NO" en alguna entrada, de lo que se deduce que la ZFC demuestra que ese programa de ordenador produce un "NO" en esa entrada, y por lo tanto la ZFC demostraría que la hipótesis de Riemann es falsa.
Sin embargo, sigue existiendo la posibilidad, por lo que sé, de que la hipótesis de Riemann sea cierta pero no demostrable en ZFC.
Luke
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6644
Sin preocuparse por las reducciones, si RH es falsa, es demostrablemente falsa: supongamos $\rho\in\mathbb{C}$ es un cero en la franja crítica pero fuera de la línea crítica (digamos, $\Re(\rho)>\frac12$ ). Entonces para un pequeño rectángulo $R$ con (digamos) esquinas racionales, que contiene $\rho$ en su interior pero que no contiene el polo en $s=1$ o intersección de la línea crítica tendríamos $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial R} \frac{\zeta'}{\zeta}(s)\mathrm{d}s \geq 1$$ por el principio de argumentación.
Pero podemos aproximarnos $\zeta(s),\zeta'(s)$ a una precisión arbitraria mediante un cálculo finito, y de forma similar podemos aproximar la integral a una precisión arbitraria mediante un cálculo numérico. En otras palabras, existe un cálculo finito que aproxima de forma demostrable la integral anterior con una precisión de $\frac{1}{2}$ . Entonces la no evanescencia de la aproximación demuestra la falsedad de RH.
Del mismo modo, RH es equivalente a las estimaciones sobre la función de recuento de primas, por ejemplo a $$|\psi(x)-(x)|<\sqrt{x}\log^2 x$$ donde $\psi(x) = \sum_{p^r<x}\log p$ .
Aunque los modelos pueden estar en desacuerdo sobre algunos aspectos de los números reales, no creo que puedan estarlo sobre el logaritmo de un número entero (en el sentido de que $\log(n)=-\log(1/n) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(n-1)^k}{kn^k}$ ), y es suficiente para considerar el entero $x$ en la desigualdad. Esto significa que si RH es falso en un modelo, RH será falso en cualquier modelo cuyos enteros contengan los del modelo original.
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Editado para aclarar el último comentario: en la desigualdad de recuento de primas, sustituir el término $\log p$ asociado a la primera potencia $p^r$ con $\sum_{k=1}^{100p^{2r}} \frac{(p-1)^k}{kp^k}$ . Del mismo modo, sustituya el $\log x$ con un truncamiento de la serie de logaritmos. RH sigue siendo equivalente a la desigualdad que utiliza el logaritmo truncado, y en la nueva formulación ambos lados de la desigualdad son números racionales explícitos. En otras palabras, RH es equivalente a una secuencia contable de desigualdades sobre números racionales explícitos.
Segunda edición: Me doy cuenta de que la formulación directa también se puede convertir en una afirmación sobre los racionales. Sea $R_n$ sea el rectángulo paralelo al eje con ángulos en $\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+i$ y $1+ni$ . Sea $I_n$ sea una aproximación racional a la integral de conteo de ceros anterior en torno a $R_n$ , con una precisión superior a $\frac{1}{2}$ (obtenido dividiendo el límite de $R$ en muchos puntos, en cada uno de los cuales se aproxima $\frac{\zeta'}{\zeta}$ por un número racional, y luego integrando numéricamente). Este es un cálculo finito explícito, y RH es equivalente al sistema infinito de desigualdades $I_n<0.5$ .
Tercera edición: eliminado la declaración falsa sobre los submodelos.
godelian
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2819
En un entrevista con Martin Davis que apareció en los avisos de la AMS, especula al final (pp. 570) con la posibilidad de que la SR sea indecidible. Explicaba que cada $\Pi_1^0$ es equivalente a un enunciado que afirma sobre una ecuación polinómica particular con coeficientes enteros que esa ecuación no tiene soluciones de números naturales, y que RH era un enunciado de ese tipo, como se trabajó en "Hilbert's tenth problem: Diophantine equations: positive aspects of a negative solution", por Martin Davis, Yuri Matijasevic, y Julia Robinson, en Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proc. Sympos. Pure Math., AMS, 1976. A continuación, prosigue:
"Ciertamente no soy analista, pero la razón por la que creo que la Hipótesis de Riemann es una buena candidata a la indecidibilidad por métodos elementales es que se encuentra justo en medio del análisis clásico, y ha sido atacada por matemáticos brillantes -Paul Cohen dedicó mucho tiempo a ello- y los métodos existentes no parecen resolverla. Es difícil creer que no sea cierto. ¿Y por qué no iba a ser una de esas proposiciones que requieren métodos de teoría de conjuntos? Sería estupendo".
Como explicó anteriormente, hay algunas proposiciones matemáticas que "tienen una forma muy simple que implica la solubilidad de determinadas ecuaciones diofantinas y que requieren métodos teóricos de conjuntos para su resolución". El hecho de que RH pueda ser de ese carácter, como señala, ya había sido conjeturado por Gödel en la conferencia de Gibbs. "Y eso no me sorprendería lo más mínimo", afirma.
Yardboy
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1981
Bruno De Fraine
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Sí.
Dicho esto, es pura especulación. También podemos hablar de la decidibilidad de cualquier otro problema abierto famoso, pero en mi experiencia eso no suele conducir a nada nuevo. Para mí, es altamente improbable que sea indecidible, pero por supuesto, no podemos excluirlo. Compárese, por ejemplo, con la racionalidad de $2*\pi^{4/3} - e^{3/2}$ .
