En primer lugar, no es del todo cierto que exista "una sola teoría de cohomología" para los espacios topológicos. Más bien hay que decir que existen varias teorías de este tipo, pero que para los espacios razonables, dan los mismos resultados.
La razón por la que esto es cierto en una categoría de espacios topológicos razonables es que los espacios topológicos agradables pueden "construirse" a partir de otros más pequeños de varias maneras, (por ejemplo, véase la definición de un complejo de CW). A partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod, se puede calcular formalmente la cohomología de un intervalo, y luego un círculo, y luego una esfera, y así sucesivamente. Los axiomas de Eilenberg-Steenrod son suficientes para calcular la cohomología de cualquier espacio que se "construya" a partir del punto utilizando unas pocas operaciones básicas.
En el mundo de la geometría algebraica, esto es casi imposible. Las variedades algebraicas no pueden en general descomponerse en variedades algebraicas más simples por ningún proceso. La situación es mucho más "rígida". Por ejemplo, no hay forma de deducir la cohomología de una curva algebraica a partir de la cohomología de un punto utilizando axiomas simples, a pesar de que las curvas algebraicas son los objetos más simples después del punto.
