generar un grupo conectado a la trayectoria a partir de una vecindad de 1

Question

Estoy leyendo el libro 'Naive Lie theory'. En él se demuestra que un grupo conectado por un camino puede ser generado por una vecindad del elemento unidad. La idea es simple y clara. Pero no puedo superar algunos detalles.

¿Cómo es posible encontrar siempre $A_i$ y $A_{i+1}$ en el mismo conjunto $A(t_j ) \mathcal{O}$ ?

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Answer 1

Creo que el punto es que la cubierta abierta del camino $A(t)$ es una cubierta, por lo que la intersección de al menos algunos de los $A(t_j)\mathcal{O}$ debe ser no vacía. Sin embargo, tienes razón en que no hay razón para suponer que $A(t_1)\mathcal{O}\cap A(t_2)\mathcal{O}\neq \emptyset$ - la numeración lo da a entender, pero en realidad no lo dice, ni siquiera es una consecuencia necesaria. La imagen habitual sería la de una curva serpenteante con bolitas perfectamente alineadas cubriéndola una a una, pero la mera existencia de una subcubierta finita no lo requiere.

Sin embargo, si te fijas bien, verás que el $t_j$ tienen una indexación diferente a la de los puntos $A_i$ la única afirmación es que cada dos puntos consecutivos están en algunos $A(t_j)\mathcal{O}$ No es que el $j$ están en orden, o incluso que no hay muchos pares consecutivos $A_i/A_{i+1}$ que están en el mismo conjunto abierto. (Quizá hayamos elegido nuestro $\mathcal{O}$ particularmente bien y en realidad $A\in \mathcal{O}$ ya podría pasar).

Así que creo que, en cambio, lo que el autor está insinuando es que primero elegimos un cierto número de puntos en orden lineal (a través del orden en $[0,1]$ ) que van desde $1$ à $A$ y si por alguna razón no tenemos que cada par consecutivo esté en al menos uno de los conjuntos abiertos de la subcubierta finita, entonces elegimos más de ellos para rellenar los huecos hasta que lo consigamos.

Explícitamente 1 , tome las intersecciones de las imágenes inversas de los conjuntos abiertos con $[0,1]$ . Si conseguimos un conjunto como $\{A_j\}$ para esos conjuntos abiertos (que también deben ser una cobertura finita), sus imágenes estarán en las imágenes de esos conjuntos abiertos y tienen la propiedad de pares consecutivos en ellos (que son los conjuntos abiertos originales). Así que la pregunta se reduce a la misma pregunta en el intervalo unitario.

Aunque las intersecciones con el intervalo unitario, que serán todas uniones de intervalos abiertos, son patológicas y una vez más son infinitas (pruebe a dibujar algunos conjuntos abiertos con garabatos en $A(t)$ que no se cruzan "bien") se pueden ignorar todas, excepto una subcubierta finita de las mismas, una vez que se llega a $[0,1]$ . Y ahora tienes un finito conjunto de intervalos abiertos en el intervalo $[0,1]$ de los que hay que elegir puntos, cada par consecutivo de los cuales está en el mismo intervalo abierto. Incluso puede deshacerse de los que estén totalmente contenidos en otro, si son superfluos en $[0,1]$ estarán en $A(t)$ también 2 . Ahora sólo empieza con $0$ y vaya al punto más cercano que se encuentre en un intervalo alrededor de cero y otro diferente; luego repita, pero con un punto en el segundo intervalo y un tercero también. Como sólo hay un número finito de estas intersecciones, se agotará el suministro de estas intersecciones y, como se está avanzando, eventualmente se debe llegar a un intervalo que contenga $1$ también, en cuyo caso naturalmente se elige $A$ como su última parada.

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1 Estoy seguro de que he hecho esto fenomenalmente más complicado de lo que tiene que ser (y espero que alguien más tenga una mejor respuesta), pero como me imaginaba todo tipo de desagradables patologías conectadas $\mathcal{O}$ barrios de la identidad justo en $\mathbb{R}^2$ Cuanto más me doy cuenta de que para creer esto, tendríamos que volver a un lugar donde las cosas no pueden ser tan complicadas, que es el intervalo de la unidad. Y seguramente esa es la razón "moral" por la que esto funciona: en esencia, el intervalo sigue siendo el intervalo, aunque esté en algún extraño grupo de Lie.

2 Evidentemente, los subconjuntos abiertos en el grupo de Mentira no son superfluos, pero ignorar los extras no te sacará de ellos, sólo te aclara dónde buscar. Seguirán estando ahí cuando vuelvas al grupo.