¿Es correcta esta prueba de relación de recursión?

Question

Relación de recurrencia: $$a_0 = 1$$

$$a_{n+1} = 2a_n$$

Intento demostrar que para cualquier n N, $a_n = 2^n$ . Quiero usar la inducción.

Lo que tengo es, asumir que $a_n = 2^n$ es cierto para $P(n)$ .

Entonces $P(n+1)$ sería:

$$a_{n+1} = 2^{n+1}$$

$$a_{n+1}=2\cdot(2^n)$$

Porque $a_n = 2^n$ , entonces podemos sustituir, así $a_{n+1} = 2a_n$ .

Answer 1

El idea de la prueba es ciertamente correcta. Hay algunas cuestiones, como la afirmación incorrecta pero innecesaria de que todos los números pares son potencias de $2$ .

Volvemos a escribir la prueba que diste, haciendo pequeñas modificaciones. Después de un tiempo, no se espera que uses la notación $P(n)$ explícitamente.

Dejemos que $P(n)$ sea la afirmación de que $a_n=2^n$ . Demostramos por inducción que $P(n)$ es verdadera para todo número entero no negativo $n$ .

Ciertamente $P(0)$ es cierto, ya que $a_0=1=2^0$ .

Supongamos que para un determinado número entero $k$ la afirmación $P(k)$ es verdadera. Demostramos que $P(k+1)$ es cierto.

Desde $P(k)$ es cierto, tenemos $a_k=2^k$ . Pero entonces $$a_{k+1}=2a_k=2\cdot 2^k =2^{k+1},$$ así que $P(k+1)$ es verdadera. Esto completa el paso de inducción y la prueba.

Answer 2

La clave de una prueba de inducción es demostrar $P(0)$ y luego demostrar que $P(n)\implies P(n+1)$ .

$P(0)$ es sólo la afirmación de que $a_0=2^0$ , lo cual es obvio.

Ahora asuma que sabe $P(n)$ - es decir, $a_n = 2^{n}$ . Entonces $a_{n+1}=2a_n = 2(2^n)=2^{n+1}$ . Por lo tanto, usted sabe $P(n+1)$ .

Por lo tanto, has terminado.

En esta prueba no es necesario que los números sean pares, sólo que $2(2^n)=2^{n+1}$ .