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Demuestra que $\int_{x=a}^{x=b} f'(x) g(x) dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{x=a}^{x=b} g'(x)f(x)\, dx$

Tengo que demostrar lo siguiente:

Supongamos que $f$ y $g$ son diferenciables en $[a,b]$ y $f'$ y $g'$ son integrables en $[a,b]$ . Demostrar que $f'g$ y $g'f$ son integrables en $[a,b]$ y la de:

$$ \int_{x=a}^{x=b} f'(x) g(x)\, dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{x=a}^{x=b} g'(x)f(x)\, dx $$

Pero no sé cómo demostrarlo $f'g$ es diferenciable porque no sé si $U(fg,P)=U(f,P)+U(g,P)$ y lo mismo para $L(fg,P)$ Y si tengo que usar el teorema del cambio de variable porque no se me permite usarlo, creo que debe haber una manera más fácil de obtener el resultado. ¿Pueden ayudarme a demostrarlo, por favor? Gracias.

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Mark Puntos 5205

$$\int_{x=a}^{x=b} f'(x) g(x)\, dx=g(x)f(x)|_{a}^{b}-\int_a^bg'(x)f(x)dx$$ (por integración de partes). Esto da su respuesta.

Basta con demostrar la afirmación: si $f$ es integrable en $[a,b]$ entonces también lo es $f^2$ entonces $fg=\dfrac{1}{2}((f+g)^2−f^2−g^2)$ es integrable. Para demostrar que $f^2$ es integrable utilice lo siguiente: $$\begin{align}U(f^2, P) - L(f^2,P) &= \sum (M_i^2 - m_i^2)\Delta x_i \\&< 2M \sum (M_i-m_i)\Delta x_i\\&= 2M(U(f,P) - L(f,P)) \\&<2M\frac{\varepsilon }{2M} = \varepsilon\end{align}$$

Aquí $M=\sup\limits_{[a,b]} f(x)$ . Así que $f^2$ es integrable.

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Ish Puntos 11

Para demostrar que $fg'$ es integrable, utilice el hecho de que $fg' = \frac{1}{4}[(f + g')^2 - (f-g')^2].$ Utilice esto para mostrar $f'g$ también es integrable.

La identidad que escribiste es sólo integración por partes. La transformación está dada por, $u = g(x)$ y $dv = f'(x) dx$ .

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