Conferencias Feynman p264: ¿Cómo se $r^2 = \rho^2 + a^2$ implica $\rho\, {\rm d}\rho = r\, {\rm d}r$

Question

Estoy leyendo el tomo I de las Conferencias de Feynman sobre Física.

El capítulo trata del cálculo del campo gravitatorio de un objeto grande.

En la imagen, la línea de arriba representa un plano (visto de lado), con un objeto en la posición P, alejado del plano por una distancia $a$ . " ${\rm d}\rho$ "es la anchura de un anillo cuyo radio es $\rho$ . Y $r$ es la distancia de este anillo al objeto en P.

Uno de los pasos del cálculo es:

Desde $r^2 = \rho^2 + a^2$ entonces $\rho\, {\rm d}\rho = r\, {\rm d}r.$

¿Cómo se obtiene la implicación anterior?

Answer 1

Se trata de una técnica matemática conocida como tomar el diferencial total de ambos lados de la ecuación anterior. En el lado izquierdo, tenemos $\mathrm{d}(r^2) = 2 r \, \mathrm{d}r$ y de forma similar para $\rho^2$ a la derecha.