Ejemplos de estudio de mapas multilineales a través de mapas lineales.

Question

Hay una respuesta a la pregunta " ¿Por qué es importante el producto tensorial si ya tenemos productos directos y semidirectos? " que establece que

permiten estudiar ciertos mapas no lineales (mapas bilineales) transformándolos primero en lineales, a los que se puede aplicar el álgebra lineal;---Mariano Suárez-Álvarez

¿Podría alguien darme algún ejemplo concreto (y lo más básico posible, sin usar la teoría de categorías) para mostrar esta aplicación?

Por favor, no te limites a demostrar que hay un mapa lineal que es inducido por el mapa multilineal. Por favor, demuestre que cómo podemos utilizar el linealidad del mapa lineal para obtener cierta información o propiedades del mapa multilineal.

Answer 1

En la geometría del plano cartesiano ¿cómo se relaciona el cálculo que engendra dos vectores? la respuesta es el determinante del mapa bilineal.

Algo similar ocurre con el cálculo del volumen engendrado por tres vectores en el espacio cartesiano 3d.

Answer 2

Consideremos la Proposición 2.1.7.1 de Geometría y teoría de la complejidad - Landsberg.

Proposición 2.1.7.1: $\underline{R}(T) \geq \text{rank}(T_A)$

$T$ es un tensor en $A \otimes B \otimes C$ , donde $A,B,C$ son espacios vectoriales complejos de dimensión finita. $\underline{R}(T)$ es el rango de frontera de $T$ y $\text{rank}(T_A)$ es el rango del mapa lineal $T_A:A^\ast \to B \otimes C$ inducido por el tensor. Puedes encontrar todas estas definiciones en el texto, que está disponible en Internet.

Ahora puedes pedir ¿por qué nos molestamos en estudiar el rango de las fronteras? pero la cuestión es que el rango de la frontera es crucial para entender la complejidad de la multiplicación de matrices, que es un importante problema abierto en matemáticas. Puedes leer algo sobre el tema aquí .