Intercambio de diferenciales (rigurosamente)

Question

Digamos que tenemos trabajo integral

$$\int Fdx=m\int\frac{dv}{dt}dx=m\int dv\frac{dx}{dt}$$

Estas cosas se hacen en física todo el tiempo, pero $\frac{dv}{dt}$ no es simplemente una relación de dos cantidades no relacionadas. Están profundamente conectadas en el límite y no existen realmente de forma independiente. No estoy seguro de que este intercambio esté rigurosamente permitido.

Supongo que una forma de formalizarlo es parametrizar la función $v$ como $v(x(t))$ entonces $$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$

$$\int\frac{dv}{dt}dx=\int\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}dx = \int\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}dx$$

y de alguna manera $dx$ se supone que se cancela mágicamente.

Creo que casi tengo razón, pero no entiendo cómo $dx$ se anulan entre sí. ¿Cuál es la forma matemáticamente rigurosa de intercambiar $dt$ en casos como este?

Answer 1

Para entender el intercambio hay que saber dos cosas. En primer lugar, hay que conocer la regla de la cadena $$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[f(g(x))] = \frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}g}\frac{\textrm{d}g}{\textrm{d}x}$$ y en segundo lugar necesitamos conocer el teorema fundamental del cálculo $$\int\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[f(x)]\ \textrm{d}x = f(x) + C.$$

Hacemos la siguiente afirmación:

Teorema

Si $g$ es diferenciable y $f$ es continua en el rango de $g$ entonces $$\int f(g)\frac{\textrm{d}g}{\textrm{d}x}\ \textrm{d}x = \int f(g)\ \textrm{d}g.$$

Prueba

Dejemos que $F$ sea una antiderivada de $f$ es decir $\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[F(x)] = F'(x) = f(x).$ Entonces (por la regla de la cadena) tenemos $$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[F(g(x))] = \frac{\textrm{dF}}{\textrm{d}g}\frac{\textrm{d}g}{\textrm{d}x} = f(g)\frac{\textrm{d}g}{\textrm{d}x}.$$ Sustituir en nuestra integral y aplicar el teorema fundamental del cálculo. \begin{align} \int f(g)\frac{\textrm{d}g}{\textrm{d}x}\ \textrm{d}x &= \int \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[F(g(x))] \textrm{d}x \\ &= F(g(x)) + C\\&= F(g) +C \\ &= \int \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}g}[F(g)]\textrm{d}g \\ &=\int f(g) \textrm{d}g \end{align}