¿Cuál es el estado de nuestra ignorancia sobre la normalidad de pi?

Question

Se desconoce si $\pi$ es un número normal. De hecho, hay afirmaciones mucho más débiles que no se conocen, como la afirmación de que hay infinitos 7s en la expansión decimal de $\pi$ . Me gustaría tener una idea de dónde está el límite entre lo que sabemos y lo que no sabemos. Por ejemplo, supongo que ni siquiera se sabe que todos los dígitos decimales a partir de algún punto son 0s y 1s. ¿Estoy en lo cierto?

Timothy Chow dio una respuesta parcial a esta pregunta en un debate sobre otra cuestión: ¿Es pi un buen generador de números aleatorios? . Señaló que algunos hechos muy débiles pueden deducirse de los resultados conocidos sobre lo bien que $\pi$ pueden ser aproximados por los racionales. Supongo que podría preguntar si esa es esencialmente la única técnica que tenemos. ¿Podría ser, por ejemplo (en lo que respecta a lo que se ha demostrado -- obviamente no es realmente el caso) que los dígitos de $\pi$ son todos 0s y 1s desde algún punto y que hay una constante $C$ tal que el número de 1s en el primer $n$ dígitos nunca es más que $C\sqrt{n}$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta de Gerry a la pregunta anterior sobre MO es lo suficientemente exhaustivo para esta pregunta también. La normalidad de $\pi$ (lo que implicaría la medida de irracionalidad 2) no se conoce todavía, e incluso las cuestiones como "todos los dígitos decimales a partir de algún punto son 0s y 1s" no pueden ser demostradas incondicionalmente.

La mejor estimación conocida para la medida de irracionalidad de $\pi$ , debida a V. Salikhov [ Russ. Math. Surv. 63 :3 (2008), 570--572] (véase también MR2483171 (2010b:11082) ) lee $|\pi-p/q| > q^{-7.6063\dots}$ para todos los enteros $p$ y $q>q_0$ . La mejora del récord de Hata se consigue construyendo aproximaciones racionales a $\pi$ solo (el resultado de Hata es, de hecho, de $\mathbb Q$ -independencia lineal de $1$ , $\log 2$ y $\pi$ ).

Un enfoque interesante de atacar la normalidad de los números como $\pi$ y problemas como el 0s--1s, está relacionado con el llamado Fórmulas BBP . Sin embargo, todas estas fórmulas para $\pi$ corresponden a sus expansiones binarias (también hexadecimales). La última noticia es una fórmula de base 10 para $1/\pi^2$ debido a G. Almkvist y J. Guillera (arXiv:1009.5202 [math.NT]) , $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(6n)!}{n!^6} (532n^2+126n+9)\frac1{10^{6n}}=\frac{375}{4\pi^2}, $$ que no es del tipo BBP pero se acerca a él en cierto sentido.

Una buena exposición de La vida de $\pi$ es J. Borwein en su conferencia conferencia impartido en la reunión de la Sociedad Australiana de Matemáticas de 2010.

Answer 2

Creo que lo más cercano que conocemos es el resultado de Furstenberg que $10^m3^n\pi$ es denso módulo $1$ (decir). Por otra parte, esto es cierto para cualquier irracional en lugar de $\pi$ . Aparece una prueba sencilla aquí . Ver también esta generalización .