Dejemos que $a_n \to 0$ entonces $\lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)n $ es igual a ??

Question

Dejemos que $a_n \to 0.$

Entonces $$\lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)n $$ es igual a ??

He tomado algunos ejemplos y he conseguido que el límite sea igual a cero. Parece que el límite es cero, pero ¿cómo demostrarlo en general?

o mi suposición es errónea...

Por favor, proporcione alguna pista. Gracias.

Answer 1

No hay una conclusión general aquí. Por ejemplo, dejemos $a_n$ sea la secuencia $$0,1/2,0,1/4,0,1/6,\cdots$$ Usted tiene $$(a_{2k+1}-a_{2k})(2k)=-\frac{2k}{2k}=-1$$ y $$(a_{2k}-a_{2k-1})(2k-1)=\frac{2k-1}{2k}\to1$$

Answer 2

Incluso si su secuencia es monótona, esto puede no ser cierto. Si considera que $a_{k}=\frac{1}{n}$ para $n^3\leq k<(n+1)^3 $ entonces $$\lim_{n\to\infty}(a_{n^3}-a_{n^3-1})(n^3-1)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right)(n^3-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-1}{n-n^2}=-\infty$$ Así que, $\{(a_{n^3}-a_{n^3-1})(n^3-1)\}$ es una subsecuencia divergente de $\{(a_{n+1}-a_n)n\}$ .

Answer 3

Tu suposición es errónea. Considere $a_n=(-1)^n/\sqrt{n}, n\geq 1$ Entonces $$n(a_{n+1}-a_n)=(-1)^{n+1}n(1/\sqrt{n+1})+1/\sqrt{n}).$$

Sin embargo, $n(1/\sqrt{n+1}+1/\sqrt{n})>2\sqrt{n}\to +\infty$ que excluye $(-1)^{n+1}n(1/\sqrt{n+2}+1/\sqrt{n+1})\to 0$ .