Subconjuntos conectados de Q

Question

Tengo entendido que los subconjuntos conexos de Q (subconjunto de R que contiene números racionales) son todos los conjuntos que contienen un elemento de Q.

Sin embargo, me preguntaba por qué es así. Y además, cómo podemos explicar que los subconjuntos de Q conectados por el camino sean también elementos simples.

Answer 1

Los monotones siempre están conectados por el camino constante $f(t)=c$ para alguna constante $c$ . Los irracionales son densos en los reales por lo que cada dos números racionales distintos tienen un irracional entre ellos que impide el camino que los conecta.

Answer 2

Es, quizás, más fácil demostrar que los únicos componentes conectados de $\mathbb{Q}$ son los monotonales. Esto se puede hacer a través de una contradicción:

Supongamos que $C$ es un subconjunto conexo de $\mathbb{Q}$ con dos elementos distintos, digamos, $p,q\in C$ . Podemos suponer que $p<q$ . Entonces dejemos que $x$ sea un número irracional con $p<x<q$ . Entonces los dos conjuntos $(-\infty,x)\cap C$ y $(x,\infty)\cap C$ forman una separación de $C$ y esto contradice el hecho de que $C$ estaba conectado. Por lo tanto, si $C$ está conectado, sólo puede contener un único elemento.

Esta línea de razonamiento se extiende al caso de los caminos conectados: es decir, cualquier camino que conecte $p$ a $q$ debe pasar por el punto $x$ .