Variación del producto de las variables dependientes

Question

¿Cuál es la fórmula de la varianza del producto de las variables dependientes?

En el caso de las variables independientes la fórmula es simple:

$${ \rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = { \rm var}(X){ \rm var}(Y) + { \rm var}(X)E(Y)^2 + { \rm var}(Y)E(X)^2$$ ¿Pero cuál es la fórmula de las variables correlacionadas?

Por cierto, ¿cómo puedo encontrar la correlación basada en los datos estadísticos?

Answer 1

Bueno, usando la identidad familiar que señalaste,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Utilizando la fórmula análoga para la covarianza,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

y

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

lo que implica que, en general, ${\rm var}(XY)$ puede escribirse como

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Tenga en cuenta que en el caso de la independencia, ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$ y esto se reduce a

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

y los dos $[ E(X)E(Y) ]^{2}$ términos se anulan y se obtiene

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

como ha señalado más arriba.

Editar: Si todo lo que observas es $XY$ y no $X$ y $Y$ por separado, entonces no creo que haya una forma de estimar ${\rm cov}(X,Y)$ o ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ excepto en casos especiales (por ejemplo, si $X,Y$ tienen medios que se conocen a priori )

Answer 2

Este es un adenda a la muy buena respuesta de @Macro que expone exactamente lo que hay que saber para determinar la varianza del el producto de dos variables aleatorias correlacionadas. Como \begin {align} \operatorname {var}(XY) &= E \left [(XY)^2 \right ] - \left (E[XY] \right )^2 \tag {1} \\ &= E[(XY)^2] - \left ( \operatorname {cov}(X,Y)+E[X]E[Y] \right )^2 \\ &= E[X^2Y^2] - \left ( \operatorname {cov}(X,Y)+E[X]E[Y] \right )^2 \tag {2} \\ &= \left ( \operatorname {cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2] \right ) - \left ( \operatorname {cov}(X,Y)+E[X]E[Y] \right )^2 \tag {3} \\ \end {align} donde $\operatorname{cov}(X,Y)$ , $E[X]$ , $E[Y]$ , $E[X^2]$ y $E[Y^2]$ se puede suponer que son cantidades conocidas, tenemos que ser capaces de determinar el valor de $E\left[X^2Y^2\right]$ en $(2)$ o $\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ en $(3)$ . Esto no es fácil de hacer en general, pero, como ya se ha señalado, si $X$ y $Y$ son independiente variables aleatorias, entonces $\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$ . De hecho, dependencia, no la correlación (o la falta de ella) es la cuestión clave. Que sepamos que $\operatorname{cov}(X,Y)$ es igual a $0$ en lugar de algún valor no nulo no lo hace, por sí mismo, ayuda en el menos en nuestros esfuerzos son determinar el valor de $E\left[X^2Y^2\right]$ o $\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ a pesar de que hace simplificar los lados derechos de $(2)$ y $(3)$ un poco.

Cuando $X$ y $Y$ son dependiente variables aleatorias, entonces en al menos una (bastante común o bastante importante) especial caso, es es posible encontrar el valor de $E\left[X^2Y^2\right]$ con relativa facilidad.

Supongamos que $X$ y $Y$ son conjuntamente normal variables aleatorias con coeficiente de correlación $\rho$ . Entonces, acondicionado en $X = x$ El condicional densidad de $Y$ es una densidad normal con media $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ y la varianza $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$ . Así, \begin {align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X] \\ &= X^2 \left [ \operatorname {var}(Y)(1- \rho ^2) + \left (E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt { \frac { \operatorname {var}(Y)}{ \operatorname {var}(X)}} \right (X-E[X] \right ) \right )^2 \right ] \end {align} que es un Cuartita función de $X$ , digamos que $g(X)$ y la Ley de la Iteración Expectativa nos dice que $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ donde el lado derecho de $(4)$ puede calcularse a partir del conocimiento de los 3er y 4to momento de $X$ -- resultados estándar que se pueden encontrar en muchos textos y libros de referencia (lo que significa que soy demasiado perezoso para buscarlos e incluirlos en esta respuesta).

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Más adición: En una respuesta ahora borrada, @Hydrologist da la varianza de $XY$ como $$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ y afirma que esta fórmula procede de dos artículos publicados hace medio siglo en JASA. Esta fórmula es una transcripción incorrecta de los resultados de los artículos citados por Hydrologist. En concreto, $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ es un error de transcripción de $E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ en el artículo de la revista, y de forma similar para $\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ y $\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$ .