composición de la relación binaria con la condición

Question

Tengo la relación binaria :

$R = \{(x,y) | x,y \in N, xy <5 \}$

Necesito encontrar la composición de R - $R \circ R $

Entonces la respuesta dada es : $N * N$

que no tiene sentido, ¿puede explicarlo, por favor?

Answer 1

Tenemos que $R \subseteq \mathbb N \times \mathbb N$ y $R = \{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb N \text { and } xy < 5 \}$ .

Ejemplos sencillos: $(1,4) \in R$ y $(2,3) \notin R$ .

Ahora, para composición de $R$ es decir $R \circ R$ :

$(x,z) \in R \circ R \text { iff } \exists y \in \mathbb N : (x,y) \in R \text{ and } (y,z) \in R$ .

Pero esto equivale a decir que $(x,z) \in R \circ R$ si $xy<5$ y $yz <5$ para algunos $y \in \mathbb N$ .

SI $0 \in \mathbb N$ tenemos que $x0 <5$ y $0z < 5$ por cada $x,z \in \mathbb N$ .

Así:

$R \circ R = \mathbb N \times \mathbb N$ .