¿Qué hay de malo en el cálculo con coordenadas polares aquí?

Question

Supongamos que $x=r\cos t$ y $y=r\sin t$ . Hice el siguiente cálculo:

$$ \begin{align} &x^4+y^4=(r\cos t)^4+(r\sin t)^4\\ =&r^4(\sin^4t+\cos^4t)\\ =&r^4[(\sin^2t+\cos^2t)^2-2\sin^2t\cos^2t]\\ =&r^4(1-2\sin^2t\cos^2t)=r^4-2r^4\sin^2t\cos^2t \end{align} $$ Por otro lado $$ \begin{align} x^4+y^4&=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\\ &=r^4-2r^2\sin^2t\cos^2t \end{align} $$

¿Qué es lo que falla en el cálculo?

Answer 1

Observe que $2x^2y^2 = 2(r\sin t)^2(r\cos t)^2 = 2r^4\sin^2t\cos^2t$ .