La forma vectorial de la ley de Ohm es \boldsymbol{J}=\sigma\boldsymbol{E}\text{ }\left[\dfrac{\text{A}}{\text{m}^{2}}\right] Quiero demostrar que I=\sigma V_{ab} En otras palabras, quiero demostrar que {\displaystyle \int_{S}}\boldsymbol{J}\cdot\vec{ds}=\sigma\cdot-{\displaystyle \int_{b}^{a}}\boldsymbol{E}\cdot\vec{d\ell} Me encuentro atascado en este punto. En el lado izquierdo de la ecuación está la integral de superficie de \boldsymbol{J} en \boldsymbol{S} , donde \boldsymbol{S} es la superficie a través de la cual se propaga la carga. En el lado derecho está la integral de un electrón que se mueve del punto b al punto a. El movimiento del electrón es perpendicularmente a través de la superficie que se está integrando, por lo que las integrales no tienen ninguna relación aparente. Entonces, ¿cómo se pasa de \boldsymbol{J}=\sigma\boldsymbol{E}\text{ }\left[\dfrac{\text{A}}{\text{m}^{2}}\right] à {\displaystyle \int_{S}}\boldsymbol{J}\cdot\vec{ds}=\sigma\cdot-{\displaystyle \int_{b}^{a}}\boldsymbol{E}\cdot\vec{d\ell}\text{ ?}
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si V es la tensión eléctrica \Delta\phi entonces la ley de ohms para un cable no es lo que has escrito: V=\frac{L}{\sigma A}I\equiv RI, donde L es la longitud del cable (la resistencia total R aumenta si se observa el recorrido de la corriente por más cable), A es el área de la sección transversal del cable y \sigma(=nq^2\tau/m) es la conductividad eléctrica
Como ha dicho, tenemos \vec j=\sigma \vec E. \,\,\,\,\,\, (1) Además, tenemos I=\int_A \vec j \cdot d\vec A=|\vec j|A, \,\,\,\,\,\, (2) porque \vec j\parallel d\vec A . Además, tenemos V=-\int_a^b \vec E \cdot d\vec l=EL, \,\,\,\,\,\, (3) porque \vec E\parallel d\vec l ( \vec j, \vec E, d\vec A, d\vec l son todos en dirección al cable). Finalmente obtenemos \frac{I}{A}\stackrel{(2)}{=}|\vec j|\stackrel{(1)}{=}\sigma E\stackrel{(3)}{=}\sigma \frac{V}{L}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{or}\,\,\,\,\,\,\,\,V=\frac{L}{\sigma A}I, que es la expresión que estábamos buscando.
