Descomposición factorial invariante de matrices enteras

Question

Supongamos que $M$ es un $n \times n$ matriz con entradas enteras. Si pensamos en $M$ como actuar en $V=\mathbb{Q}^n$ entonces podemos pensar en $V$ como $\mathbb{Q}[M]$ -y que $V$ es isomorfo a una suma directa de cíclicos $\mathbb{Q}[M]$ -módulos.

Supongamos, en cambio, que $M$ actúa sobre $W=\mathbb{Z}^n$ . Mi pregunta es entonces: ¿cómo podemos descomponer $V$ como $\mathbb{Z}[M]$ -¿Módulo? Además, tenemos $\mathbb{Z}[M]=\mathbb{Z}[X]/I$ donde $I$ es el ideal de polinomios para el que $M$ satisface. A priori, ni siquiera es evidente que este ideal sea principal (es decir, que $M$ tiene un polinomio mínimo) pero creo que lo he demostrado usando el Lemma de Gauss. ¿Es eso cierto?

Answer 1

Porque $\def\Z{\Bbb Z}\Z[X]$ no es principal, no se tiene la correspondiente teoría de descomposiciones de módulos (en particular no hay factores invariantes con las propiedades habituales), y de hecho la situación no parece tener ninguna descripción general sencilla. Hay una cosa positiva que se puede decir sobre el ideal $~I$ definir el anillo $K[M]$ : no sólo es $I$ principal (ya que es la intersección de un ideal de $\Bbb Q[X]$ con $\Z[X]$ ), pero como $M$ es integral sobre $~\Bbb Z$ (por el teorema de Cayley-Hamliton), $I$ es generado por un monic polinomio en $~\Z[X]$ . Así que $K[M]$ es una extensión integral de $~\Z$ . Pero excepto en algunos casos raros, como cuando el polinomio mínimo es $X^2+1$ ou $X^2+X+1$ En este caso, este anillo no es principal (ni es en general un dominio, pero creo que eso es menos importante aquí), y no se aplica ninguna teoría de estructura fácil.

Se podrían definir los factores invariantes de $M$ en $~\Z$ para ser sólo aquellos sobre $~\Bbb Q$ que son efectivamente polinomios (mónicos) con coeficientes enteros. Sin embargo, no es cierto que el $\Z[X]$ -se descompone siempre como una suma directa de módulos cíclicos isomorfos a $\Z[X]/(P_i)$ para estos factores invariantes $~P_i$ ni tampoco que estos $P_i$ determinar el $\Z[X]$ -hasta el isomorfismo. Para ver esto, consideremos las matrices $$ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \qquad\text{and}\qquad \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. $$ Ambos tienen polinomios mínimos y característicos iguales a $X^2-1=(X-1)(X+1)$ que, por lo tanto, es también el único factor invariante; sin embargo, para el $\Z[X]$ -definidos por estas matrices, el primero (definido por una matriz compañera) es isomorfo a $\Z[X]/(X^2-1)$ e indecomponible, pero la segunda se descompone como $\Z[X]/(X-1)\oplus\Z[X]/(X+1)$ ; aquí no hay teorema del resto chino.

Para el caso de las involuciones (matrices enteras $~A$ satisfaciendo $A^2=I$ ) se puede demostrar que siempre se obtiene una suma directa de módulos cíclicos (de uno de los tres tipos que aparecen en el ejemplo). Sin embargo, incluso esta afirmación no es cierta en general: el $\Z[X]/(X^2+3)$ -módulo definido por la matriz $$ A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-1\end{pmatrix} $$ es irreducible pero no cíclico (ya que para cualquier vector entero $v$ el par de vectores $(v,A\cdot v)$ tiene un incluso determinante, por lo que nunca constituye una base de $~\Z^2$ ). En otras palabras, $A$ no es similar sobre $~\Z$ a la matriz compañera de su polinomio mínimo y característico $~X^2+3$ Aunque ya ha terminado $~\Bbb Q$ .