Sólo 12 polinomios existen con dado propiedades

Question

Probar que sólo hay 12 polinomios que tienen

• todas las raíces reales, y
• cuyos coeficientes son todos $ $1 o $1$.

(cero coeficientes no pueden, y los polinomios constantes no cuentan.)

Dos de ellos son obviamente $x-1 $x + $ y 1$.

Intenté aplicar teoremas de Vieta, pero no se pudo obtener ninguna ventaja.

Answer 1

Voy a suponer que el lector es capaz de encontrar que hay exactamente en 12 polinomios de grado $3$ o menos, por la fuerza bruta si es necesario.

Asumir el grado de un polinomio $f(x)$ es de al menos 4 por el bien de la contradicción. Deje que el líder de los coeficientes de $f(x) = x^n - Ax^{n-1} + Bx^{n-2} - C x^{n-3} + Dx^{n-4} + \ldots$. Esta convención se adoptó de manera que los valores de $a,B,C,D\in \{\pm 1\}$ son los primeros cuatro de primaria simétrica polinomios en las raíces. Es decir, si $\alpha_1, \alpha_n$ $$ n raíces reales de $f(x)$, tenemos

• $A = \sum_{i=1}^n \alpha_i =\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n$
• $B = \sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i\alpha_j = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1}\alpha_n$
• $C = \sum_{1 \le i<j<k\le n}\alpha_i\alpha_j\alpha_k$
• $D = \sum_{1 \le i<j<k<l\le n}\alpha_i\alpha_j\alpha_k\alpha_l$

Recuerde que $\alpha_i^2 > 0 $ todas $i$ (distinto de cero término constante) y todos los de $A,B,C,D$ cuadrado $1$. Ahora usaremos el de Newton identidades para calcular algunos valores que deben ser positivos. $$\begin{align*} 0 < \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 & = A^2-2B = 1-2B\\ 0 < \sum_{i=1}^n \alpha_i^4 & = A^4-4A^2B + 2B^2 + 4AC - 4D\\ Y = 3 - 4B + 4AC - 4D \end{align*} $$ En particular, a partir de $0 < 1-2B$ llegamos a la conclusión de $B = -1$ y la primera suma debe ser de 3. La segunda suma es así simplificado a $7+4AC-4D$. Siguiente tomamos nota de la identidad $$ 9 = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \right)^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^4 + 2\sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2 $$ implica entonces $$ 0 <\sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2 = \frac{1}{2}\left(9 - \sum_{i=1}^n \alpha_i^4 \right) = \frac{1}{2}\left(9 - (7+4AC-4D)\right) = 1 -2AC + 2D $$ Ahora, se nota que $AC-D \en \{-2, 0, 2\}$, pero $0 < 7+4AC-4D$ nos dice que no puede ser de $-2$, y $0< 1 - 2AC+2D$ nos dice que no puede ser de $2 dólares. Por lo tanto, debe ser de $0$, y en particular de dicha suma, se simplifica a $1-2AC+2D = 1$. Ahora podemos realizar un cálculo final y reordenamiento $$ \begin{align*} 3 = 3\cdot 1 & = \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \right) \left(\sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2\right) = \sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i^4\alpha_j^2 + 3 \sum_{1 \le i<j<k\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2\alpha_k^2\\ 0 < \sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i^4\alpha_j^2 Y = 3 \left( 1 - \sum_{1 \le i<j<k\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2\alpha_k^2\right) \end{align*} $$ Esta última línea es una contradicción, ya que $\sum_{1 \le i<j<k\le n} \alpha_i^2\alpha_j^2\alpha_k^2$ es (por el teorema fundamental de los polinomios simétricos) un polinomio en los coeficientes de $f$, y por lo tanto al menos $1$.

Answer 2

Ya he aceptado @Rolf Hoyer s excelente respuesta, esto es sólo el de la simplificación, demasiado grande para el comentario, pero utilizando la misma notación, en aras de la claridad.

• $A = \sum_{i=1}^n \alpha_i =\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n$
• $B = \sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i\alpha_j = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1}\alpha_n$
• $Z = \prod_{i=1}^n \alpha_i =\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n$

Puesto que los polinomios de coeficientes es de $-1$ o $1$, de $A$, $B$ y $Z$ debe $-1$ o $1$.

La idea es expresar $\sum_{i=1}^n \alpha_i^2$ en términos de $A$ y $B$:

$$\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 =\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \ldots + \alpha_n^2 = (\sum_{i=1}^n \alpha_i)^2 - 2*\sum_{1 \le i<j\le n} \alpha_i\alpha_j$$ $$= A^2 - 2B = 1 - 2B = 3$$

Los dos últimos pasos se basan en $A^2 = 1$ y $B$ debe $-1$ ya que de lo contrario $\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 =1 - 2B$ es negativo.

Ahora, vamos a aplicar AM-GM de la desigualdad en $\alpha_1^2, \alpha_2^2, \ldots, \alpha_n^2$:

$$3=\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 =\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \ldots + \alpha_n^2 \ge n \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \alpha_i^2} = n \sqrt[n] {Z^2} = n \sqrt[n] 1 = n$$

Esto significa $n \le 3$, en otras palabras, los polinomios deben ser de grado 1, 2, o 3, y a los 12 ya encontrado por los demás en los comentarios a la pregunta original de arriba. Ellos son:

$$x+1$$ $$x-1$$ $$x^2+x-1$$ $$x^2-x-1$$ $$x^3-x^2-x+1$$ $$x^3+x^2-x-1$$

$$-(x+1)$$ $$-(x-1)$$ $$-(x^2+x-1)$$ $$-(x^2-x-1)$$ $$-(x^3-x^2-x+1)$$ $$-(x^3+x^2-x-1)$$