Subgrupo normal de índice m contiene todo elemento de orden n donde m y n son relativamente primos

Question

Dejemos que $K$ sea un subgrupo normal de $G$ del índice $m$ . Si $n$ es un número entero positivo tal que $\gcd(m,n)=1$ , demuestran que todos los elementos de orden $n$ están en $K$ .

Podría resolver esto si $G$ es finito como sigue: Sea $g$ sea un elemento de orden $n$ . $|gK|$ divide $|G|$ utilizando el epimorfismo canónico, de nuevo $|gK|$ divide $|G/K|$ . Desde $m$ y $n$ son relativamente primos, obtenemos el orden de $gK$ es $1$ .

¿Y si $G$ es infinito?

Answer 1

Su argumento no requiere realmente $G$ para tener un orden finito. En efecto, si $g$ tiene orden $n$ y $\pi:G\to G/K$ es el mapa canónico, se deduce de $$ \pi(g)^n=\pi(g^n)=\pi(e)=e$$ que el orden de $\pi(g)$ divide $n$ . Ahora proceda como en su pregunta.