Demostrar si $\frac{nx}{e^{nx}}$ converge uniformemente

Question

Tengo esta expresión $$ \frac{nx}{e^{nx}} \qquad x\geq 0 $$ y tenía que probar si es puntualmente y uniformemente convergente (por separado). La convergencia puntual puede probarse fácilmente con sólo evaluar el límite siguiente $$ \lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx}}\to 0 $$ Para demostrar la convergencia uniforme tuve que evaluar este límite y demostrar que es igual a $0$ $$ \lim_{n\to\infty}\left|\left|\frac{nx}{e^{nx}} - 0\right|\right| $$ Estoy un poco confundido por cómo se supone que debo calcular lo anterior, es el supremum con respecto a $n$ ou $x$ ? Lo siento, soy nuevo en esto.

Answer 1

No converge uniformemente a $0$ , como $$\sup_{x \geq 0} \frac{nx}{e^{nx}} = \frac{n \times \frac{1}{n}}{e^{n \frac{1}{n}}} = \frac{1}{e}$$ que no tiende a $0$ como $n \to \infty$ .