Sugerencia para una función de Lyapunov

Question

Consideremos el sistema diferencial $$ x'=x+y $$ $$y'=x-y+xy$$

¿Cuál sería la función de Lyapunov para este sistema en $(0,0)$ ?

He considerado las funciones $V(x,y)=ax^{2n}+by^{2m}$ pero ninguno de ellos parece ser Lyapunov.

Answer 1

Como se indica en los comentarios la función de Lyapunov se suele utilizar para inferir la estabilidad del equilibrio. Existe una teorema útil de Chetaev que permite construir una función (a menudo llamada función de Chetaev en la literatura en ruso) para demostrar la inestabilidad. En tu caso puedes tomar $$ V(x,y)=xy, $$ que es positivo en el primer cuadrante, cero en su límite, y el origen también pertenece al límite.

Tengo $$ \dot V=y^2+x^2+x^2y>0, $$ para $x,y>0$ . Por lo tanto, según el teorema mencionado, el origen es inestable.

Answer 2

Nos referimos a la técnica de Liapunov para determinar la estabilidad sólo cuando el sistema linealizado no es hiperbólico en el punto de equilibrio.

Ahora, teniendo esto en cuenta, vamos a comprobar el sistema linealizado, que se puede obtener simplemente eliminando los términos no lineales: $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right)$

Este sistema tiene un valor propio positivo ( $\sqrt{2}$ ) y una negativa ( $-\sqrt{2}$ ), por lo que es hiperbólica, y a partir de la linealización podemos afirmar que el origen es una silla de montar (por lo tanto no es estable).

En definitiva, busca una función de Liapunov sólo cuando el equilibrio no es hiperbólico. Si es hiperbólico, como es tu caso, ¡eres un chico con suerte! (o una chica con suerte si eres una chica)

;)