Conjuntos de divergencia de las series de Fourier

Question

Teorema de Carleson (posteriormente ampliado por Hunt) establece que dado un $L^2$ función $f:{\mathbb R}/{\mathbb Z}\to{\mathbb C}$ el conjunto de puntos $x$ donde la serie de Fourier $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n\hat f(k)e^{2\pi ik x}$$ no converge a $f(x)$ tiene medida 0.

Kahane y Katznelson probado que dado cualquier conjunto de medida cero $E$ existe una función continua $f:{\mathbb R}/{\mathbb Z}\to{\mathbb C}$ cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de $E$ .

Estos dos resultados dejan un pequeño vacío.

Lo que se sabe de esos conjuntos $E$ para el que existe un $L^2$ (¿o incluso continua?) función $f$ cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de $E$ y converge puntualmente a $f$ en todos los puntos que no estén en $E$ ?

Hay cierta ambigüedad con la pregunta tal y como está planteada actualmente, ya que depende del representante del $L^2$ -clase de $f$ que uno elija. Espero que una respuesta ayude a aclarar el efecto de los representantes específicos. Permítanme señalar que, una vez que elegimos representantes, no todo conjunto de medida cero puede ser un $E$ . Si $f$ es continua, esto es fácil de ver; de hecho, $E$ debe ser Borel (de baja complejidad; y esto, por supuesto, parece estar relacionado con esta pregunta ). Como se señala más adelante en un comentario de Juris Steprans, sólo por motivos de cardinalidad sabemos que no pueden aparecer todos los conjuntos de medida cero, incluso para $L^2$ funciones. La extensión de Hunt del resultado de Carleson dice que podemos asumir $f\in L^p$ para cualquier $p\in(1,\infty)$ ni siquiera sé si los conjuntos $E$ variará con $p$ .

Answer 1

Creo que el problema de caracterizar los conjuntos de divergencia para las series de Fourier clásicas está más o menos abierto para todas las clases interesantes ( $C$ , $L^\infty$ , $L^p$ con $p>1$ ).

El resultado más sólido que conozco se debe a Buzdalin, que demostró que cualquier conjunto nulo $E\in F_\sigma\cap G_\delta$ es un conjunto de divergencias para la serie de Fourier de alguna función continua de valor complejo ( "Series trigonométricas de Fourier de funciones continuas que divergen en un conjunto dado" , Matemáticas. URSS Sbornik , 24 (1974)).

Sin embargo, el problema de caracterización se resuelve en su mayor parte para otros sistemas ortogonales, incluidos los sistemas de Haar y Franklin. También hay un artículo muy reciente de Karagulyan donde se demuestra, en particular, que

Una condición necesaria y sufficiente para que un conjunto $E \subset [0, 1]$ para ser un conjunto de divergencia para la secuencia de $(C, \alpha)$ -significa ( $\alpha>0$ ) de la serie de Fourier de alguna función $f \in L^\infty[0, 1]$ es que $E$ es un $G_{\delta\sigma}$ -conjunto de medidas $0$ .

(Véase G.A. Karagulyan, "Caracterización de los conjuntos de divergencia para secuencias de operadores con la propiedad de localización" , Sbornik: Matemáticas , 202 (2011), pp. 9-33).

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Para complicar aún más las cosas, la gente tiende a distinguir entre los conjuntos de divergencia y de divergencia no limitada. Un conjunto $E \subset [0, 1]$ se dice que es un conjunto de divergencia (resp. divergencia no limitada) para una serie de funciones $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x),\qquad x\in[0,1],$$ si la serie diverge para $x ∈ E$ y converge para $x \in [0, 1] \backslash E$ (resp. diverge ilimitadamente para $x ∈ E$ ).

Se puede pensar en las dos conjeturas de trabajo optimistas.

1. Cada $G_{\delta\sigma}$ -Configurar $E $ de medida $0$ es un conjunto de divergencias para la serie de Fourier de alguna función $f \in C[0, 1]$ .

2. Cada $G_{\delta}$ -Configurar $E$ de medida $0$ es un conjunto de sin límites divergencia para la serie de Fourier de alguna función $f \in C[0, 1]$ .

La conjetura 2 fue formulada explícitamente por P.L. Ul'yanov a finales de la década de 1960. Ambas conjeturas parecen estar abiertas.

Answer 2

El conjunto donde una secuencia $S_n$ de funciones continuas (y en particular una serie de Fourier) converge es siempre una $F_{\sigma\delta}$ es decir, una intersección contable de uniones contables de conjuntos cerrados.