$x + y = 7 $ y $x^3 - y^3 = 37$ , encontrar $xy$

Question

$x+y=7$
$x^3-y^3 = 37$

Encuentre $xy$

He abordado este pero estoy atascado, cuando llego a este punto: $$(x-y)((x+2)^2 -xy) = 37$$ Me gustaría que me dieran alguna sugerencia.

Answer 1

Configurar $y=7-x$ obtenemos $$ 0=x^3-y^3-37=(2x^2 - 13x + 95)(x - 4). $$ Para las soluciones enteras, el término cuadrático no tiene raíz entera, por lo que $x=4$ y $y=3$ Por lo tanto $xy=12$ . Sobre los números reales, ésta es también la única solución, ya que $2x^2-13x+95=0$ tiene dos soluciones complejas y no reales.

Answer 2

$x-y=\pm \sqrt{(x+y)^2-4xy}=\pm \sqrt{49-4xy}$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)=(x-y)\{(x+y)^2-xy\}$

$\implies \pm \sqrt{49-4xy}(49-xy)=37 $

Espero que puedas resolver esta ecuación para obtener $xy=12$ como querías resolver para $xy$ en lugar de $x$ y $y$ por separado. Aun así, yo me quedaría con la solución de @Dietrich Burde, ya que no has dicho si quieres soluciones con números naturales o no.

Answer 3

Desde $(x^3-y^3)^2$ es simétrico en $x$ y $y$ se puede expresar como un polinomio en términos de $x+y$ y $xy$ :

$(x^3-y^3)^2 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6 = (x+y)^6 - (6x^5y+15x^4y^2+22x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5) \\ = (x+y)^6 - 6xy(x+y)^4 + (9x^4y^2+14x^3y^3+9x^2y^4) \\ = (x+y)^6 - 6xy(x+y)^4 + 9(xy)^2(x+y)^2 - 4(xy)^3$

Cómo introducir los valores $x+y = 7$ y $x^3-y^3 = 37$ le da la ecuación

$4(xy)^3 - 441(xy)^2 +14406(xy)-116280 = 0$

La única raíz racional de este polinomio cúbico es $12$ , por lo que este factor es

$(xy-12)(4(xy)^2-393(xy)+9690) = 0$

Y ahora puedes comprobar que el segundo factor no tiene raíces reales.

Por último, obtener un valor para $xy$ (aquí, $12$ ) determina los valores de $x$ y $y$ completamente, porque

$x = (x+y)/2 + (x^3-y^3)/(2((x+y)^2-xy))= 7/2 + 37/(2.(7^2-12)) = 4$ y
entonces $y = (x+y)-x = 7-4 = 3$

Answer 4

$(49-4xy)(49-xy)^2=37^2$ , $37$ es primo. Así que $49-4xy=1$ entonces $$xy=12$$