Distribución binomial con constantes

Question

Una variable aleatoria binomial X tiene una función de distribución de probabilidad ${P(x) = k (\frac{3}{4})^x (\frac{1}{4})^{3-x}}$ donde x = 0, 1, 2, 3 y k es una constante.

El libro decía k es $\frac{8}{5}$ . Estoy confundido porque pensé que al ser un problema de distribución binomial sería $4 \choose3$ porque hay cuatro espacios de muestra y el r es 3.

Answer 1

¿Qué quiere decir con "el $r$ valor"? Si fuera una distribución Binomial con parámetros $n,p$ entonces $k$ sería $\binom{n}{x}$ . Ya que se le dice que $k$ es constante y no depende de $x$ , entonces se encuentra su valor normalizando. Más precisamente, es necesario que

$$ 1=P(0)+P(1)+P(2)+P(3), $$

que se puede reescribir como

$$ \frac1k=\left(\frac{3}{4}\right)^0\left(\frac{1}{4}\right)^3+\left(\frac{3}{4}\right)^1\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^1+\left(\frac{3}{4}\right)^3\left(\frac{1}{4}\right)^0=\frac{40}{64}=\frac{5}{8}. $$