He buscado en internet una explicación fácil de abordar y sencilla de la relación de equivalencia y la clase de equivalencia, pero no he tenido éxito. Si alguno de ustedes puede explicar en términos muy básicos por favor dígame + dar un ejemplo. Gracias de antemano.
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stu
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Piensa en clasificar algo como los coches. Describa todos los coches con una característica, por ejemplo, el color. Entonces, aunque haya millones de coches en el mundo, sólo hay unos pocos colores diferentes de coches. Cada color es una clase de equivalencia. Así que ahora, en lugar de que la lista de todos los coches empiece con "el mío" y termine con "ese último coche que no he contado", puedes contar todos los coches del mundo enumerando todos los colores en los que vienen los coches. Lo cual es una clasificación más fácil, pero contiene menos información.
Este sencillo ejemplo no trata de incorporar ninguna estructura adicional: los coches son un conjunto, no un anillo ni un grupo ni nada parecido.
Piensa en todos los números enteros... ahora divídelos todos por cuatro, por ejemplo.
Hay números enteros que tendrán un resto de $0$ como $4, 8, 12, 16,$ etc.
Hay números enteros que tendrán un resto de $1$ como $1, 5, 9, 13, $ etc.
Hay números enteros que tendrán un resto de $2$ como $2, 6, 10, 14,$ etc.
Hay números enteros que tendrán un resto de $3$ como $3, 7, 11, 15,$ etc.
Los números divisibles por 4 entran en la clase $$[0]=\{-4,0,4,8,12,...\}$$
Los números no divisibles por 4 entran en sus propias clases de equivalencia. Así que los números enteros que dejan un resto de 1 están en su propia clase $$[1] = \{...,-3,1,5,9,13,...\}$$ los enteros que dejan un resto de 2 están en su propia clase $$[2] = \{...,-2,2,6,10,14,...\}$$ los enteros que dejan un resto de 3 están en su propia clase $$[3]=\{...,-1,3,7,11,15,...\}$$
Por lo tanto, puedes ver que todos los enteros encuentran un hogar en algún lugar basado en esta relación de divisibilidad.
Este es un ejemplo matemático, pero creo que es lo suficientemente sencillo como para ver el funcionamiento de la relación y formar las clases de equivalencia.
EDIT (para Peter que me pidió que expusiera las propiedades de las relaciones de equivalencia; Además, aquí es donde definitivamente se pondrá un poco matemático!!!):
Las relaciones de equivalencia tienen tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Ahora bien, en nuestro caso, recordemos que estamos relacionando todos los números con su resto al dividir por 4. Así que cuando estoy mirando los miembros de cada equivalencia, estoy buscando la relación de divisibilidad. Así que dos números $a, b$ están relacionados a partir de una clase particular si $$a-b \text{ is divisible by } 4. \text{(or mathematically } 4|(a-b))$$ No creo que esto sea una exageración para ver. Basta con mirar todos los elementos de cada clase... están todos separados por 4. En $[2]$ por ejemplo, $$14-6=8=4\cdot{2}$$ Así es como compararemos realmente los elementos para la equivalencia. Ahora nuestras tres propiedades que necesitamos satisfacer son;
1) Reflexividad; Esto sólo significa que un número está relacionado consigo mismo. En nuestro caso, veamos el elemento $5$ de la clase $[1]$ . Es $5$ relacionada consigo misma (parece intuitivo que sea así, ¿no?). Aplicar la relación... $$5-5=0=4\cdot{0}$$ $0$ es ciertamente divisible por $4$ por lo que nuestra relación es Reflexiva... si dejamos que nuestro elemento sea sólo $a$ Creo que está claro que es generalmente cierto para todos los enteros...
2) Simetría; esto sólo significa que si un número puede relacionarse con un segundo, es lo mismo que si relacionamos el segundo con el primero... Así que sigamos en clase $[1]$ y relacionar $5$ y $9$ . Aplicar la relación... $$5-9=-4=4\cdot{(-1)}$$ ahora multiplica ambos lados por $-1$ y ver que $$(-1)(5-9)=9-5=4=4\cdot{1}=(-1)4\cdot{(-1)}$$ En el centro podemos ver que tenemos nuestra declaración que necesitamos para mostrar la simetría. Si $5$ está relacionado con $9$ entonces $9$ también está relacionado con $5$ (ya que $9-5$ es divisible por 4 también...). En términos generales, si $a$ está relacionado con $b$ entonces $b$ está relacionado con $a$ .
3) Transitividad; esta es la antigua norma; si $a$ está relacionado con $b$ y si $b$ está relacionado con $c$ entonces $a$ también está relacionado con $c$ . Terminemos en $[1]$ . Que mis tres números sean $13,5,-3$ . Aplica la relación en los dos primeros... $$13-5=8=4\cdot{2}$$ Aplicar la relación en los dos últimos $$5-(-3)=8=4\cdot{2}$$ Entonces $$13-5+5-(-3)=13+3=16=4\cdot{4}$$ Por lo tanto, es transitivo.
