Álgebra Universal: en términos generales, Whitehead, en su Tratado de Álgebra Universal fue motivado por el trabajo de Boole, Hamilton y Grassmann, y, finalmente, Maltsev y polaco matemáticos desarrolló la teoría general. Sin embargo, Grassmann mismo se centra principalmente en la binaria asociativa de las operaciones.
Hypercomplex números: De álgebra abstracta punto de vista de Grassmann estudiado algunos finitely generan álgebras asociativas en el campo de los números reales. En el siglo 19, esta zona pasó a ser conocido como lineal álgebra asociativa, y fue desarrollada por Peirce y Wedderburn, entre otros. El nombre moderno es hypercomplex números y asociatividad de operadores que ya no es necesaria, los ejemplos son dual y split-números complejos, cuaterniones, octonions, etc. Aunque puramente algebraica enfoque está más en el espíritu de Hamilton de Grassmann algunos hypercomplex números están estrechamente relacionadas con las geometrías no Euclidianas realizados y los que aparecen en la mecánica, la relatividad y la teoría cuántica. Nueva e interesante hypercomplex números fueron introducidos por Musès en la década de 1980, aunque la mayoría de su trabajo es más en el ámbito de la numerología de las matemáticas.
Álgebra multilineal: Grassmann la propia obra era más específico que el álgebra universal y más intuitiva de álgebra abstracta, en términos modernos, él estaba interesado en álgebras generado por un vector en el espacio, como en el exterior o álgebras de Clifford, con énfasis en las interpretaciones geométricas. Y no sólo en el ámbito de aplicación, sino también el punto de vista, él estaba interesado en el contenido geométrico de las operaciones (cuña producto, Clifford producto, etc.) más de sus propiedades algebraicas. Formalmente, el más moderno analógico sería álgebra multilineal si no para el que prevalece el tensor de enfoque que reduce todo a la del índice de manipulaciones y asigna geométricas interpretaciones, después del hecho, en todo caso.
El Álgebra geométrica: Gian-Carlo Rota es el más prominente de los últimos proponente de Grassmann original punto de vista, él y sus estudiantes presentaron la nueva geométrica de las operaciones en su espíritu, y desarrolló su teoría. Rota la motivación vino de la clásica teoría de invariantes y se inyecta combinatoria sabor en Grassmann de las construcciones. "Álgebra geométrica" es un término que a veces se utiliza para describir a este círculo de ideas, pero la mayoría de los autores lo tratan como un sinónimo de álgebra de Clifford, que es sólo un ejemplo, aunque universal, en cierto sentido (que no debe confundirse con el álgebra geométrica de los griegos antiguos, que es otra cosa). Y de la Rota enfoque es una excepción más que una regla en álgebra multilineal.
La geometría diferencial: Donde está el espíritu de Grassman se conserva más que la geometría diferencial. Después de Elie Cartan la introducción de formas diferenciales hubo una tendencia a abolir tensor de álgebra "el libertinaje de los índices" en favor de coordinar invariante notación porque no hay ninguna global elección de las coordenadas en los colectores. Formas diferenciales son Grassman exterior de formas que varían a lo largo de un colector, es decir, uno genera exterior álgebras sobre la tangente espacios y toma suave secciones transversales a través del colector. Por supuesto, otros Grassman tipo de álgebras puede y se utilizan en su lugar. La ventaja es que Grassman las definiciones de las operaciones son intrínsecos, y automáticamente se extienden a haces de una vez de la estructura subyacente es fijo (por ejemplo, métrica de Riemann para álgebras de Clifford). A continuación, pueden ser utilizados para definir los operadores diferenciales que explícitamente son invariantes bajo transformaciones que preservan la estructura subyacente (por ejemplo, la definición de codifferential el uso de Hodge de la estrella). Los físicos que trabajan con medidor de teorías sobre los colectores, a veces a favor de este enfoque, pero incluso en la geometría diferencial tensores de dominar, ya que pueden ser manipulados con mucho menos geométrica de conocimiento.
Fuentes: Yaglom del libro tiene un excelente histórica exposición de Grassman las ideas y su relación con los cuaterniones de Hamilton y hypercomplex números en general. Esta es una más reciente estudio histórico de la posterior obra de Clifford, de Lipschitz, Estudio y Cartan con énfasis en las aplicaciones a la física. Wikipidea artículo en hypercomplex números da una buena visión general con muchos histórico y moderno, referencias, por Musèan hypernumbers ver aquí. Rota de la programación de papel reactivación de Grassman las ideas y aplicarlas a la clásica teoría de invariantes es bastante fácil de leer, su corto de primaria y de revisión está aquí. Aplicaciones para spinors y teoría de la representación se puede encontrar en este libro. Warner texto aplica sistemáticamente invariante enfoque en la geometría diferencial.
