¿Isomorfo y homeomorfo implican siempre isomorfo homeomorfo?

Question

Dejemos que $(G,\cdot,T)$ y $(H,\star,S)$ sean grupos topológicos tales que
$(G,T)$ es homeomorfo a $(H,S)$ y $(G,\cdot)$ es isomorfo a $(H,\star)$ .

¿Se deduce que $(G,\cdot,T)$ y $(H,\star,S)$ son isomorfos como grupos topológicos?
Si no, ¿qué pasa si ambos son Hausdorff? ¿Y si ambos son Hausdorff y completos por las dos caras?

Answer 1

Los racionales 2-ádicos $\mathbb{Q}_2$ y los racionales triádicos $\mathbb{Q}_3$ son homeomórficos, porque cada uno es una unión disjunta contable de conjuntos de Cantor. También son isomorfos como grupos si se asume el axioma de elección, porque ambos son campos de característica 0 y por tanto espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ (de la misma dimensión cardinal). Sin embargo, los enteros 2-ádicos $\mathbb{Z}_2$ son un subgrupo compacto de $\mathbb{Q}_2$ en la que cada elemento es infinitamente divisible por 3. Por otro lado, en $\mathbb{Q}_3$ cualquier secuencia no trivial $x, x/3, x/9, \ldots$ no tiene límites en la métrica completa y, por tanto, no está contenida en un subgrupo compacto.

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Keith Conrad pregunta si hay un ejemplo sin el axioma de elección, y Jason De Vito pregunta si hay un ejemplo usando grupos de Lie. De hecho, hay un ejemplo barato utilizando grupos de Lie desconectados. Sea $G$ y $H$ sean dos grupos de Lie conectados que son homeomorfos pero no isomorfos. Por ejemplo, los grupos abelianos $\mathbb{R}^3$ la cubierta universal $\widetilde{\text{SL}(2,\mathbb{R})}$ y el grupo de Heisenberg de los unitriangulares superiores, reales $3 \times 3$ Las matrices son todas homeomórficas, pero no isomórficas. Si $G'$ y $H'$ son $G$ y $H$ con la topología discreta, entonces $G' \times H$ y $G \times H'$ son explícitamente isomorfas y explícitamente homeomorfas. Pero no son continuamente isomorfas, porque la componente conexa de la identidad es $G$ para uno de ellos pero $H$ para el otro.

Answer 2

Perdón por la necromancia, pero lo siguiente era demasiado bonito para resistirse:

Dejemos que

$A$ sea $Z_4$ con la topología discreta

$B$ sea $Z_4$ con la topología indiscreta

$C$ sea $Z_2 \times Z_2$ con la topología discreta

$D$ sea $Z_2 \times Z_2$ con la topología indiscreta.

Entonces $A \times D$ no es isomorfo a $B \times C$ como grupo topológico, pero los espacios subyacentes son homeomorfos y los grupos son isomorfos.

Answer 3

Los espacios de Banach $c_{0}$ y $\ell_{2}$ puede ser visto como isomorfo grupos abelianos, que también son homeomorfos (debido a Kadec). Además claramente no son isomorfos como grupos topológicos.

Answer 4

Cualquiera de los dos $2$ -espacios vectoriales racionales en $\mathbb R$ son isomorfos como grupos y también isomorfos de orden (creo), por lo tanto homeomorfos cuando se da la topología relativa de $\mathbb R$ . Pero cualquier isomorfismo como grupos topológicos tendría que estar dado por la multiplicación por un número real. Así, por ejemplo $\mathbb Q+\mathbb Q\pi$ y $\mathbb Q+\mathbb Q\sqrt 5$ son un contraejemplo.

EDIT: O lo mismo con $\mathbb Z$ en lugar de $\mathbb Q$ .

Answer 5

Otro ejemplo: hay un número incontable de pro- abelianos diferentes (de base incontable). $p$ grupos isomorfos al producto de todos los grupos cíclicos $p$ -grupos. Cada uno de ellos debe ser homeomorfo al conjunto de Cantor.

[Esto está en mi informe de transferencia, y en breve estará en un pre-print en el arxiv].