Evaluación de $\prod_{i=1}^{60} \sin(3i-2) \sin(3i-1)$

Question

La cuestión es evaluar $$\prod_{i=1}^{60} \sin(3i-2) \sin(3i-1)$$ donde $i$ es el grado para los ángulos.

Intenté escribir algunos términos $(\sin 1 \sin2)(\sin4 \sin 5)(\sin 7 \sin 8)...(\sin 178 \sin 179)$ que puede reordenarse como $(\sin 1 \sin 179)(\sin 2 \sin 178)...(\sin 89 \sin 91)$ que también puede escribirse como $2^{-60} (1+ \cos 178)(1+\cos 176)...(1+\cos 2)$ No he podido continuar después de esto, ¿alguna idea? $60$ se sustituye por cualquier número natural $n$ Gracias.

Answer 1

En notación convencional, lo que se busca es $$A=\prod_{i=1}^{60}\sin\frac{(3i-2)\pi}{180}\sin\frac{(3i-1)\pi}{180}.$$ Entonces $$A=\frac{P_{180}}{P_{60}}$$ donde $$P_N=\prod_{j=1}^{N-1}\sin\frac{j\pi}{N}.$$ Es bien sabido que $$P_N=\frac{N}{2^{N-1}}.\tag1$$ Así, $$A=\frac{3}{2^{120}}.$$

Una pista para $(1)$ . Considere el producto $$N=\prod_{j=1}^{N-1}(1-\exp(2\pi ij/N)).$$

Answer 2

Después de que te reorganices,

$$ \color{green}{ (\sin 1° \sin179°) (\sin2° \sin178°) ...(\sin44°\sin136°)}(\sin45°\sin135°)\color{red}{(\sin46°\sin134°)...(\sin88°\sin92°) (\sin89°\sin91°)} $$

Obsérvese que tanto los términos verdes como los rojos obedecen

$\left(\color{teal}{\sin\theta \sin(180°- \theta)}\right) = ( \sin\theta \cdot \sin\theta) $

$$ \left[ \ \text{Using: } \sin(180°-\theta) = \sin\theta \ \right] $$

Así que nuestra serie de productos es:

$$ (\sin^2 1°)( \sin^2 2°) ... (\sin^2 45°) ... ( \sin^2 88° )(\sin^2 89°) $$

Answer 3

Tengo 1 : $$ \sin 1 \sin 2 \sin 4 \sin 5 ... \sin 175 \sin 176 \sin 178 \sin 179 = \\ \sin 1 \sin 179 \sin 2 \sin 178 \sin 4 \sin 176 \sin 5 \sin 175 ... \sin 89 \sin 91 $$ Ahora observe que $\sin i = \sin (180-i)$ . Así que entonces tenemos : $$ \sin 1 \sin 179 \sin 2 \sin 178 \sin 4 \sin 176 \sin 5 \sin 175 ... \sin 89 \sin 91 = \\ \sin 1 \sin \sin 2 \sin 2 \sin 4 \sin 4 \sin 5 \sin 5 ... \sin 89 \sin 89 = \\ (\sin 1)^2 (\sin 2)^2 (\sin 4)^2 (\sin 5)^2 ... (\sin 89)^2 $$ Ahora observe que $\cos i = \sin (90-i)$ para i por debajo de 90. Así que ahora tenemos : $$ (\sin 1)^2 (\sin 2)^2 (\sin 4)^2 (\sin 5)^2 ... (\sin 89)^2 = \\ (\sin 1)^2 (\sin 2)^2 (\sin 4)^2 (\sin 5)^2 ... (\sin 44)^2 (\cos 1)^2 (\cos 2)^2 ... (\cos 44)^2 $$ Ahora observa que $(\cos i)^2 = (1-\cos i)^2$ . Así que ahora tenemos : $$ (\sin 1)^2 (\sin 2)^2 (\sin 4)^2 (\sin 5)^2 ... (\sin 44)^2 (\cos 1)^2 (\cos 2)^2 ... (\cos 44)^2 = \\ (\sin 1)^2 (1-(\sin 1)^2) (\sin 2)^2 (1-(\sin 2)^2) (\sin 4)^2 (1-(\sin 4)^2) ... (\sin 44)^2 (1-(\sin 44)^2) $$ Ahora tengo tiempo para continuar, pero alguien no tiene paciencia y me da -1. Creo que ahora no voy a dar una respuesta.
Lo siento, tengo que irme, luego sigo... Daniel