Sea G un grupo y $g,h \in G$ tal que $gh=hg$

Question

Supongamos que $o(g)=m$ y $o(h)=n$ donde $gcd(m,n)=1$ . Prueba $o(gh)=mn$ .

He empezado tratando de trabajar hacia atrás desde $o(gh)=mn$ sólo para ver qué pasa y no creo que esté en el camino correcto realmente. Tengo que

$(gh)^{mn}=1$ y como se conmutan entonces tenemos $g^{mn}h^{mn}=(g^{m)^n}=(h^{n)^m}=1^n1^m$

Siento que me estoy perdiendo algún tipo de truco porque no estoy seguro de cómo utilizar el hecho gcd.

Answer 1

Desde $gh=hg$ tenemos $(gh)^k= g^k h^k$ .

Así, si $(gh)^k=1$ entonces $g^k = h^{-k} \in \langle g \rangle \cap \langle h \rangle = 1$ porque $\gcd(m,n)=1$ .

Por lo tanto, $k$ es un múltiplo de ambos $m$ y $n$ .

Espero que puedas terminar ahora.