Cómo demostrar que no hay conjunto $S$ que contiene todos los conjuntos equipotentes a $A \neq \varnothing$ .

Question

Dejemos que $A\neq\varnothing$ ; demostrar que no existe un conjunto $S$ que contiene todos los conjuntos equipotentes a $A$ .

Mi esquema de prueba: Supongamos un conjunto tal $S$ existe. Si puedo mostrar $\bigcup S$ (que es un conjunto) = "conjunto de todos los conjuntos", entonces he derivado una contradicción. Pero, ¿cómo lo demuestro?

Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

Si ya sabes que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto, puedes demostrar que la colección $W=\{x\mid x\notin A\land x\neq\varnothing\}$ no es un conjunto (¿cuántos conjuntos no están en esta colección?). Entonces se puede encontrar una inyección de $W$ en $S$ por medio de la fijación $a\in A$ y considerando $(A\setminus\{a\})\cup\{x\}$ . ¿Qué pasa si $S$ era un conjunto? Demuestre que la colección de todos los conjuntos, o incluso sólo $W$ también es un conjunto.