Otra suma con coeficientes binomiales.

Question

Dado $A,B,N \in \mathbb N$ ¿Existe una forma cerrada para esta expresión?

$$\sum_{n=1}^N n \binom{A}n \binom{B}{N-n} $$

Si existe, ¿puede dar una prueba?

EDITAR: $A,B \geq N$

Answer 1

Una pista: $n\binom{A}{n} = A\binom{A-1}{n-1}$ .

Answer 2

Para la solución completa de lo que dice @Yuval Filmus,

\begin{align} \sum_{n=1}^{N}{n\binom{A}{n}\binom{B}{N-n}} &= \sum_{n=1}^{N}{A\binom{A-1}{n-1}\binom{B}{N-n}}\\ &= A\sum_{n=1}^{N}{\binom{A-1}{n-1}\binom{B}{N-n}}\\ &= A\binom{A+B-1}{N-1}, \end{align} De dónde viene la última igualdad http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde's_identity .

Answer 3

De lo que dice @Yuval_Filmus

\begin{align} \sum_{n=1}^{N}{n\binom{A}{n}\binom{B}{N-n}} & = A\sum \binom{A-1}{n-1}\binom{B}{N-n}\\ &= A\sum \left( \binom{A}n - \binom{A-1}{n} \right)\binom{B}{N-n} \\ &= A\left( \binom{A+B}{N} - \binom{A+B-1}{N}\right)\\ &= \frac {AN}{A+B}\binom{A+B}{N} \end{align}

La tercera igualdad proviene de la identidad de Vandermonde.