Prueba de lógica de predicados: $\forall x\in S\exists y\in S p(x,y)\to \exists y\in Sp(y,y)$

Question

Para cualquier conjunto no vacío $S$ y el predicado $p$ definido en $S^2$ probar o refutar $\forall x\in S\exists y\in S p(x,y)\to \exists y\in Sp(y,y)$

Estoy tratando de probar lo anterior. En primer lugar necesito saber si la afirmación es verdadera o falsa.. Aquí cómo cambiar $p(x,y)$ a $p(y,y)$ ?? bastante confundido ..

Answer 1

Dejemos que $S:=\Bbb Z$ y para todos $(x,y)\in S^2$ y que $p(x,y)$ media $x>y$ .

Answer 2

Su afirmación sería cierta en algunos casos, por ejemplo, si $S$ es un singleton.

Sin embargo, su afirmación sería falsa si $S=\{ x,y\}$ donde $x\neq y$ y

$\forall a,b\in S(P(a,b)\leftrightarrow a\neq b)$ .

Esto no es formalmente refutar su afirmación, pero sí sugiere que no es cierta en general. Tal vez eso sea suficiente para tus propósitos, pero no creo que sea posible demostrar o refutar formalmente tu afirmación tal como está, utilizando la lógica ordinaria y la teoría de conjuntos.