Prueba de hipótesis bayesiana de dos parámetros

Question

Esta pregunta se refiere a la comprobación de hipótesis en el marco bayesiano, en el que soy nuevo.

Supongamos que tengo dos modelos de Poisson independientes con parámetros $\lambda_1$ y $\lambda_2$ tal que $X \sim Pois(\lambda_1)$ y $Y \sim Pois(\lambda_2)$ . $n$ las observaciones se extraen de cada una de las distribuciones $X$ y $Y$ . Si proporciono los antecedentes $\pi (\lambda_1)$ y $\pi (\lambda_2)$ Puedo conseguir los postes $\pi (\lambda_1 |x)$ y $\pi (\lambda_2 |y)$ .

Mi pregunta es cómo puedo probar la hipótesis de que $\lambda_1 = \lambda_2$ contra la hipótesis alternativa $\lambda_1 < \lambda_2$ utilizando un enfoque bayesiano?

Lo que hice fue encontrar el intervalo de credibilidad del 95% para $\lambda_1$ que denoté como $C_1$ . Y entonces establecí mi hipótesis nula como $H_0:\lambda_2 \in C_1$ vs $H_1:\lambda_2>max (C_1)$ y prueba para minimizar el riesgo de Bayes. ¿Es ésta una forma adecuada de probar la hipótesis? Si no, ¿cuál sería una forma mejor?

Gracias.

Answer 1

Las hipótesis puntuales no son comunes(razonables) en un marco bayesiano ya que su probabilidad, bajo un modelo continuo, es cero.

Algo que parece encajar en su contexto es el cálculo de la posterior tensión-fuerza coeficiente

$$\theta=P(\lambda_1\lt \lambda_2) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{l_2}\pi_{\lambda_1\vert{\bf x}}(l_1)\pi_{\lambda_2\vert{\bf x}}(l_2)dl_1 dl_2.$$

Las densidades posteriores implicadas en esta expresión pueden aproximarse utilizando un estimador de densidad de núcleo y las simulaciones posteriores.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto sólo cuantifica la incertidumbre sobre $H:\lambda_1\lt \lambda_2$ y que $P(\lambda_1=\lambda_2\vert \text{Observations})=0$ . A continuación, piense cuál es la pregunta de interés a la que quiere dar respuesta.