Por un determinado grado, hay siempre un Lagrange polinomio por debajo de la función original?

Question

Deje $x_1<x_2< \ldots <x_n$ $n$ números reales, y deje $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ser real de los valores interpolados. Deje $r\leq n$. Para cualquier $I\subseteq \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ of cardinality $r$, podemos formar el Lagrange polinomio $L_I$ a partir de los pares de $(x_i,y_i)_{i\in I}$ ; este será el único polinomio de grado $<r$ tal que $L_I(x_i)=y_i$ cualquier $i\in I$.

Es siempre el caso de que al menos uno de estos $L_I$ satisface $L_I(x_j) \leq y_j$ cualquier $j$ ? Esto puede ser visto para ser verdad en el "pequeño" casos $r=1,2$ o $n$.

Comentario : geométricamente, el $r=2$ caso significa que para cualquier conjunto finito de puntos en el plano, no será una línea recta que pasa a través de dos de esos puntos y mantenerse por debajo de todos los otros puntos. Este va a ser un "inferior" borde del casco convexo de los puntos.

Answer 1

Creo que esto debería funcionar, por inducción en $r$ :

Para $r=1$ que tenemos para recoger $I_1 = \{i_1\}$ donde $y_{i_1} = \min \{ y_1 \ldots y_n\}$, e $L_{I_1} = y_{i_1}$.

Supongamos que usted tiene un subconjunto $I_r$ del tamaño de la $r$ y un polinomio $L_{I_r}$ pasando a través de $(x_i,y_i)$ $i \in I_r$ y para el que $L_{I_r}(x_j) \le y_j$$y \notin I_r$. Tenemos que añadir a $L_{I_r}$ un polinomio de la forma $\lambda \prod_{i \in I_r}(x-x_i)$. Podemos elegir el más pequeño $|\lambda|$ que se une a otro punto : para cada una de las $(x_j,y_j)$ calculamos el $\lambda_j = (y_j - L_{I_r}(x_j))/\prod_{i \in I_r} (x_j-x_i)$. Elegimos la $i_{r+1}$ que minimiza $|\lambda_{i_{r+1}}|$,$I_{r+1} = I \cup \{i_{r+1}\}$, e $L_{I_{r+1}} = L_{I_r} + \lambda_{i_{r+1}} \prod_{i \in I_r} (x-x_i)$