Paradoja física sobre la segunda ley de Newton $F=ma$

Question

1. Si la fuerza es igual a la masa por la aceleración, ¿no ejercería la misma fuerza sobre el suelo una pelota de baloncesto lanzada desde lo alto de la torre Eiffel que una pelota de baloncesto lanzada a 30 cm del suelo? Ambas tienen la misma masa y se aceleran hacia el suelo a una velocidad de $g = 9.81\,{\rm m/s^2}$ . (No sé muy bien lo que es la velocidad terminal, ya que sólo estoy en física 1 en el instituto, pero sólo hay que suponer que la resistencia del aire no es importante y que la pelota no alcanza la velocidad terminal).

2. Además, si una pelota se deja caer lo suficientemente alto como para alcanzar la velocidad terminal, entonces se acelera a $0\,{\rm m/s^2}$ , por lo que tiene una fuerza de CERO ¿cuándo toca el suelo?

Answer 1

Como ha respondido Jack M, si un objeto de masa $m$ tiene una aceleración de $a$ esto significa que el red fuerza $F$ actuando en el objeto es $ma$ . En esta pregunta el baloncesto de masa $m$ está teniendo una aceleración a la baja de $g$ debido a la gravedad terrestre. La fuerza actuando sobre el baloncesto es $mg$ . Hemos asumido aquí que todo está sucediendo en la superficie de la tierra donde podemos llevar con seguridad $g$ ser constante o independiente de la altura sobre la superficie de la tierra .
Despreciando cualquier otra fuerza, arrastre, la única fuerza que actúa sobre el balón de baloncesto es $mg$ . Pero a partir de la tercera ley de Newton esta es también la fuerza que ejerce el balón de baloncesto sobre la tierra, $GMm/R^2=mg=Ma_E$ no importa desde qué altura esté cayendo. Aceleración de la tierra $a_E$ como se puede ver es muy muy pequeño como su masa $M$ es muy muy grande. $Ma_E$ es la fuerza ejercida sobre la tierra por el balón de baloncesto que es igual a $mg$ . Lo interesante es que cuando la pelota de baloncesto cae desde una altura da un impulso a la tierra cuando toca el suelo porque la pelota de baloncesto adquiere cierta velocidad cuando cae desde una altura. Pero esto no implica que la fuerza ejercida sobre la tierra por la pelota de baloncesto deba ser mayor cuando cae desde una altura mayor. La fuerza de la segunda ley de Newton también viene dada por $\text{d}p/\text{d}t$ la tasa de cambio del momento.
Considerando una colisión elástica, cuando la pelota de baloncesto golpea el suelo y rebota la tasa de cambio de momento de la pelota es $\text{d}p/\text{d}t=\text{d}(mv)/\text{d}t=m\text{d}(gt)/\text{d}t=mg$ que también es igual a la tasa de cambio de momento de la tierra.
Si el balón de baloncesto está cayendo con velocidad terminal, el red la fuerza sobre la pelota de baloncesto es cero. El arrastre del aire contrarresta exactamente $mg$ . Y, de nuevo, esto no implica que la fuerza que ejerce la pelota de baloncesto sobre la tierra al chocar contra el suelo sea nula, porque la pelota de baloncesto da impulso a la tierra.

Answer 2

Usted está malinterpretando la ecuación $F=ma$ . Establece que si $F$ es la fuerza externa total que actúa sobre un cuerpo de masa $m$ , entonces la masa $m$ acelera con la aceleración $a$ . Lo hace no digamos, ya que estás interpretando que un cuerpo que se acelera con la aceleración $a$ ejerce una fuerza $F$ .

Dicho esto, ¿cuál es la respuesta a su pregunta: cuál es la fuerza ejercida sobre la Tierra por una pelota que rebota? Podemos responderla de la siguiente manera. Volvemos a una definición más básica de fuerza, a saber, el cambio de la tasa de cambio del momento

$$ F = \frac{ \Delta p }{ \Delta t}~. $$

Ahora, considera una pelota que está cayendo. Supongamos que su velocidad es $-v$ (apuntando hacia abajo) justo antes de chocar con la Tierra. El momento inicial de la pelota es $-mv$ (señalando hacia abajo). Podemos suponer con seguridad que la Tierra es mucho más masiva que la pelota. Si además suponemos que la colisión Tierra-Pelota es elástica, entonces la pelota rebota con la misma velocidad que antes. Por lo tanto, el momento final de la pelota es también $mv$ (señalando hacia arriba). El cambio total de momento durante esta colisión es entonces $\Delta p = mv-(-mv) = 2mv$ .

Ahora, supongamos que la colisión se produce en el tiempo $t$ . Si la pelota es perfectamente rígida, la colisión se produce en un instante y $t=0$ . Las colisiones más realistas se producen siempre en un periodo de tiempo reducido $t$ es pequeño y distinto de cero.

Ahora, como el momento de la pelota cambia por $2mv$ en el tiempo $t$ debe haber una fuerza que actúe sobre ella. Esta es la fuerza que la Tierra ejerce sobre la pelota durante la colisión y es $$ F = \frac{2mv}{t}~. $$

Ahora bien, según la tercera ley de Newton, como la Tierra ejerce una fuerza sobre la pelota, ésta debe ejercer una fuerza igual y opuesta sobre la Tierra. Por lo tanto, la fuerza sobre la Tierra es

$$ | F_{\text{earth}} |= \frac{2mv}{t}~. $$

Nótese que la fuerza sobre la Tierra no tiene nada que ver con la aceleración de la pelota debida a la gravedad, $g$ . Si dejas caer una pelota desde una altura $h$ Entonces, cuando llega al suelo, su velocidad es $v = \sqrt{2gh}$ para que $$ | F_{\text{earth}} |= \frac{2m}{t} \sqrt{2gh}~. $$

Answer 3

Este es el caso de la sacudida en la física, como se ha señalado anteriormente, por lo que cuando la pelota toca el suelo el cambio en la aceleración es 2a en muy poco tiempo. Esta es la razón por la que te lesionas más cuando te caes de una torre alta.

Answer 4

La fuerza es igual a la masa por la aceleración. Sin embargo $9.8~\text{m/s^2}$ es la aceleración de la pelota impuesta por la gravedad. La aceleración que experimenta el balón al impactar con el suelo es, en cambio, proporcional a su velocidad actual.

Tras el impacto, $a=-\frac{v}{t}$ donde v es la velocidad actual y t es el tiempo que dura el impacto.

Si la pelota viajara $100~\text{m/s}$ y el impacto dura 2 segundos, la aceleración en el impacto sería $-50~\text{m/s^2}$ .

El tiempo que dura el impacto está relacionado con las propiedades de todos los materiales en cuestión. Golpear una superficie sólida de hormigón, un impacto mucho más corto, golpear un charco de agua, más largo. Y la desaceleración correspondiente no se distribuye necesariamente de manera uniforme a lo largo del tiempo, puede ser mucho mayor al principio del impacto y menor cerca del final, etc., pero eso está fuera del alcance de la pregunta.

Por último, aunque la pelota haya dejado de acelerar justo antes de chocar con el suelo (alcanzar la velocidad terminal), el impacto repentino con el suelo hará que la pelota se desacelere rápidamente, lo que constituye la definición de Fuerza Cinética.