Modelo de pregunta PRMO : "El menor LCM de 20 números naturales, no necesariamente diferentes, cuya suma es 413, es _________"

Question

Esta es una pregunta que vi en un modelo de examen PRMO realizado por una institución donde estudio (me refiero, no a mi escuela, sino a un centro de coaching de ingreso) el 1 de agosto de 2021 según el calendario aquí. Al principio me quedé boquiabierto al ver la pregunta. Nunca he tratado de jugar con LCM, pero de alguna manera me las arreglé para llegar a una especie de solución, que estoy añadiendo a continuación:

Dejemos que $a_1, a_2, a_3, \dots , a_{20}$ sean los números. Dado que su suma es impar, hay más números Impares que pares, o hay un número impar de números Impares entre la mayoría de números pares entre $a_1, a_2, a_3$ etc. También, $413 = 21\times 19 + 14$ y como se dice que todos los $a_1,a_2,a_3$ etc. no son necesariamente distintos y como uno de $a_1,a_2,a_3, \dots$ es incluso según la primera posibilidad, podemos decir que $19\space a_i$ son $21$ y el único número par entre los $20$ enteros es $14$ . También $lcm(21,21,21,... \text{(19 nos.)},14) = 42$ Por lo tanto, es un posible candidato que vale la pena considerar.

Me detuve allí. La clave de respuestas también me decía que $42$ es la respuesta,(sólo en unos pocos trabajos añadieron la solución completa, con la que estoy en cierto modo en desacuerdo (personalmente) excepto para aquellas preguntas que a mí o a cualquier otra persona le resultan impotentes. Esta vez, simplemente dieron la clave sin pasos y como este problema me había parecido una piedra dura durante el examen modelo, anhelaba tener una solución. He consultado mi copia de 'Olympiad Number Theory Through Challenging Problems' y 'Intermediate Number Theory' de Justin Stevens, pero en vano), pero eso me hace pensar en la segunda posibilidad de la suma, que es bastante más desafiante de lo que pensaba. Además, no soy capaz de demostrar la minimalidad de $42$ en el conjunto de soluciones, lo que de nuevo me desanima y me hace pensar que he llegado a la solución de forma trivial.

Me gustaría saber si hay un camino mejor para la solución y también cómo puedo probar o refutar que $42$ es el valor mínimo posible. Además, proporcionar enlaces a preguntas similares con diferentes sumas y números también me hará una gran ayuda en el aprendizaje.

Answer 1

La respuesta correcta es en realidad $24$ que se consigue con una lista compuesta por $17$ copias de $24$ dos copias de $2$ y una $1$ .

El mayor de los números es al menos $\frac{413}{20}=20.65$ , por lo que es al menos $21$ . Por lo tanto, el LCM de los números debe ser al menos $21$ .

Si es $21$ y hay $n$ copias de $21$ la suma total $S$ satisface $$413=S\geq 21n+7(20-n)=14n+140,$$ que resuelve a $n\geq 19.5$ . Esto significa que $n\geq 20$ que no puede ocurrir.

Si es $22$ ya que $11$ no divide $413$ debe haber un $1$ o un $2$ . Si hay $n$ copias de $22$ tenemos $$413=S\geq 22n+11(19-n)+2=11n+211,$$ que da $n\geq 18.36\dots$ -- sin embargo, $19$ copias de $22$ suma a $418>413$ así que esto no puede suceder.

Si es $23$ y hay $n$ copias de $23$ todos los demás son unos, lo que da $$413=S=23n+(20-n)=20+22n,$$ que no da un número entero $n$ .

Por lo tanto, lo óptimo es $24$ .

Answer 2

El mínimo LCM de veinte números que suman $413$ est $24$ .

• El LCM no puede ser impar. Si lo fuera, los veinte números serían Impares y su suma sería par.

• El LCM no puede ser menor que $\frac{413}{20} = 20.65$ . Por la definición de divisibilidad, todo elemento de un conjunto es menor o igual que el MCL del conjunto. Si el MCL fuera menor que $20.65$ entonces la suma de los elementos del conjunto sería menor que $413$ una contradicción.

• El LCM no puede ser $22$ . Un conjunto con diecinueve $22$ s suma más de $413$ . Un conjunto con diecisiete o menos $22$ s suma menos de $413$ . Sólo dos conjuntos tienen exactamente dieciocho $22$ s, LCMs de $22$ y un elemento impar: $$S_1 = \{\underbrace{22, 22, \dots, 22}_{18\text{ times}}, 2, 11\}$$ $$S_2 = \{\underbrace{22, 22, \dots, 22}_{18\text{ times}}, 2, 1\}$$ pero la suma de los elementos de $S_1$ est $409$ y la suma de los elementos de $S_2$ est $399$ .

El LCM puede ser $24$ y por lo tanto $24$ es el menor LCM posible. Hay varios conjuntos diferentes de números que funcionan, lo que es posible gracias a los abundantes factores de $24$ :

$$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 8, 6, 3\}$$ $$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 8, 8, 1\}$$ $$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 12, 3, 2\}$$ $$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 12, 4, 1\}$$ $$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{17\text{ times}}, 2,2,1\}$$ $$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{17\text{ times}}, 3,1,1\}$$

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Edición: Ahora, tu (común y poco abordada) metapregunta, "¿Cómo?"

Hacer preguntas significativas .

Tu técnica de resolución de problemas es personal, depende de ti, y diferentes enfoques funcionan mejor o peor en diferentes contextos. Polya sugiere cuatro principios para todos los escenarios de resolución de problemas

• Comprender el problema
• Haz un plan
• Hazlo
• Revisar/revisar

Cuando estoy inicialmente aturdido, trato de hacerme preguntas con sentido a mí mismo. Me pregunté por qué su respuesta se centraba en impar y en los números pares. Me pregunté qué tenía de especial $42$ y $413$ ? ¿Es importante que ambos sean divisibles por $7$ ? ¿Qué impide que un múltiplo menor de $7$ de trabajar? Si $28$ funciona, ¿por qué no puede funcionar un número aún menor? ¿Qué números definitivamente no pueden funcionar? A partir de las respuestas a mis subpreguntas, he conseguido entender la pregunta principal.

Lo que sí es cierto es que para resolver los problemas hay que hacer preguntas significativas (y posiblemente humillantes), y luego sobrevivir al ciclo de retroalimentación para volver a preguntar.