¡Radio de convergencia para una serie con n!

Question

Estoy intentando encontrar el radio de convergencia de una serie y me vendría bien una pista.

La serie es:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}$$

He llegado a decidir que el radio será igual al recíproco de $\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]\frac{1}{n!}$ Si es que existe. También puedo ver que el límite, de hecho, existe, ya que, $\forall n$ , $\sqrt[n]\frac{1}{n!} \le \sqrt[n]\frac{1}{n}$ y la secuencia $\{\sqrt[n]\frac{1}{n}\}$ converge a 1. Sin embargo, no sé por dónde debo empezar para tratar de encontrar el límite exacto.

Answer 1

El radio de convergencia es infinito; $z$ puede ser tan grande como quiera, y la serie seguirá convergiendo.

Como prueba: si tomamos $s_n$ para denotar un término individual en la serie, la Prueba de la Relación nos dice que la serie converge siempre que

$$\lim_{n\to\infty}|\frac{s_{n+1}}{s_n}|<1$$

Si además observamos que

$$|\frac{s_{n+1}}{s_n}|=|\frac{n!}{(n+1)!}|*|\frac{z^{n+1}}{z^n}|=\frac{1}{n+1}*z$$

entonces la convergencia de $\frac{1}{n+1}$ a $0$ y la propiedad del producto de los límites implican que $|\frac{s_{n+1}}{s_n}|$ converge a $0,$ y por tanto que la serie converge, independientemente del valor de $z$ .

Gracias a André Nicolas que sugirió esta solución en los comentarios. Gracias también a Jack D'Aurizio y usuario1952009 que sugirió otras soluciones que, aunque menos directas, son más interesantes.