¿Es el concepto de ultraproducto fundamentalmente teórico de la categoría?

Question

Una vez más, me gustaría aprovechar el gran número de teóricos de la categoría conocedores de este sitio para una pregunta que tengo sobre los aspectos teóricos de la categoría de un concepto lógico fundamental.

Mi pregunta es si el ultraproducto La construcción es fundamentalmente un concepto de teoría de la categoría.

La construcción de ultraproductos/ultrapoderes de os se utiliza de forma generalizada en la lógica, en particular en la teoría de modelos y también en la teoría de conjuntos, donde casi todos los grandes axiomas cardinales pueden formularse en términos de la existencia de ciertos tipos de ultrapoderes del universo.

Mi pregunta es, ¿es el ultraproducto fundamentalmente una construcción categórica, en el sentido de que se caracteriza por alguna propiedad universal categórica natural? ¿Y el caso especial de los ultrapoderes?

Me interesaría mucho que hubiera una caracterización universal natural en términos de los conjuntos Hom habituales para estas estructuras de primer orden, es decir, incrustaciones y/o homomorfismos elementales de primer orden. (Ni que decir tiene que estaría mucho menos interesado en una caracterización que equivaliera simplemente a una traducción de la construcción de os o del teorema de os al lenguaje de la teoría de las categorías).

Antecedentes. Supongamos que tenemos una colección de estructuras M _i para i en J, todos del mismo tipo de primer orden (por ejemplo, grupos, órdenes parciales, grafos, campos, lo que sea), y U es un ultrafiltro sobre el conjunto índice J. Esto significa que U es una colección no vacía de subconjuntos no vacíos de J, que contiene cada conjunto o su complemento, y que está cerrada bajo intersección y superconjunto. El ultraproducto ΠM _i /U consiste en clases de equivalencia [f] _U donde f es una función con dominio J, con f(i) en M _i y f ∼ _U g si {i en J | f(i)=g(i)} en U. Se impone una estructura al ultraproducto diciendo que una relación es válida en el producto, si es válida en un conjunto en U, y de forma similar para las funciones. El teorema de os establece entonces que el ultraproducto satisface una fórmula de primer orden φ([f] _u ) si y sólo si {i en J | M _i satisface φ(f(i))} está en U. Es decir, la verdad en el ultraproducto equivale a la verdad en un conjunto de coordenadas amplio de U. El caso especial cuando todos los M _i son el mismo modelo M, llegamos a la ultrapoder M J /U. En este caso, existe un mapa natural de M a M J /U, definida por x mapea a [c _x ] _U donde c _x es la función constante con valor x. Es fácil ver que este mapa es una incrustación elemental de M en la ultrapotencia.

Esta pregunta es un ejemplo más concreto de una pregunta probablemente demasiado general que hice aquí y puede que tenga varios más en el futuro.

Answer 1

Sí. Este es el contenido de la sección final de mi trabajo La codensidad y la mónada del ultrafiltro . A grandes rasgos, lo que se muestra allí es:

Hay una pieza estándar de la maquinaria categórica que, cuando se introduce como entrada el concepto de finitud de una familia de estructuras, produce como salida el concepto de ultraproducto.

Permítanme decir inmediatamente que el resultado no se debe a mí, sino al árbitro anónimo. En la versión del artículo que envié a la revista (y en versiones anteriores de arXiv), la sección final decía esencialmente "parece que deberíamos ser capaces de describir la construcción del ultraproducto como una mónada de codensidad, pero no veo cómo". El árbitro mostró cómo, y he incluido su teorema en la versión final del artículo.

La "pieza estándar de la maquinaria categórica" es la noción de mónada de codensidad. "Recordemos" que (sujeto a la existencia de ciertos límites) cualquier functor $G\colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ induce una mónada en $\mathcal{A}$ El mónada de codensidad de $G$ . En el caso de que $G$ tiene un adjunto izquierdo $F$ , esto es sólo la mónada $GF$ pero las mónadas de codensidad se definen con una generalidad mucho mayor.

(Si no sabes lo que es una mónada, a efectos de esta respuesta, puedes interpretar "mónada sobre $\mathcal{A}$ " como "functor $\mathcal{A} \to \mathcal{A}$ ", aunque es bastante más que eso).

Fijar una categoría $\mathcal{E}$ con productos pequeños y colímetros filtrados. (En la teoría de modelos, ésta podría ser típicamente la categoría de estructuras para alguna firma finitaria). Sea $\mathbf{Fam}(\mathcal{E})$ sea la categoría en la que un objeto es un conjunto $X$ junto a una familia $(S_x)_{x \in X}$ de objetos $S_x$ de $\mathcal{E}$ . Me saltaré la definición de los mapas, pero puedes encontrarla en mi documento.

La construcción del ultraproducto determina una mónada sobre $\mathcal{E}$ de la siguiente manera. Dada una familia $$ S = (S_x)_{x \in X} $$ de objetos de $\mathcal{E}$ , tomando los ultraproductos se produce una nueva familia $$ \Bigl( \prod\nolimits_{\mathcal{U}} S \Bigr)_{\text{ultrafilters } \mathcal{U} \text{ on } X} $$ de objetos de $\mathcal{E}$ , donde $\prod\nolimits_{\mathcal{U}} S$ denota el ultraproducto de $(S_x)_{x \in X}$ con respecto a $\mathcal{U}$ . Por lo tanto, es plausible que la construcción del ultraproducto dé al menos un functor $\mathbf{Fam}(\mathcal{E}) \to \mathbf{Fam}(\mathcal{E})$ . De hecho, da no sólo un functor sino una mónada sobre $\mathbf{Fam}(\mathcal{E})$ El mónada ultraproducto para $\mathcal{E}$ .

El teorema es que se trata de una mónada de codensidad. En concreto, dejemos que $\mathbf{FinFam}(\mathcal{E})$ sea la subcategoría completa de $\mathbf{Fam}(\mathcal{E})$ consistente en aquellos objetos $(S_x)_{x \in X}$ en el que el conjunto de indexación $X$ es finito. Entonces:

Teorema La mónada de codensidad del functor de inclusión $\mathbf{FinFam}(\mathcal{E}) \hookrightarrow \mathbf{Fam}(\mathcal{E})$ es la mónada del ultraproducto para $\mathcal{E}$ .

Obsérvese que el concepto de ultrafiltro no es se toma como tal. En realidad, el concepto de ultrafiltro también surge como una mónada de codensidad. Se trata de un teorema de 1971 de Kennison y Gildenhuys (discutido en mi artículo):

Teorema (Kennison y Gildenhuys) La mónada de codensidad del functor de inclusión $\mathbf{FinSet} \hookrightarrow \mathbf{Set}$ es la mónada del ultrafiltro.

Aquí $\mathbf{FinSet}$ es la categoría de conjuntos finitos, y la mónada del ultrafiltro es la mónada sobre $\mathbf{Set}$ que envía un conjunto $X$ al conjunto de ultrafiltros en $X$ .

Answer 2

La respuesta de Andrej me ha sido muy útil, pero hay otro punto de vista de la teoría de las categorías sobre los ultraproductos (quizás no totalmente ajeno) que conozco. Todavía tengo la esperanza de que más teóricos de la categoría acaben interviniendo y aclaren las cosas...

Si $X$ es un espacio discreto entonces una gavilla $F:O(X)^{\mathrm{op}}\to Set$ debe ser tal que $F(A) \cong \prod_{i \in A} F_i$ para alguna familia de conjuntos $(F_i)_{i \in X}$ . Esta gavilla puede ser trasladada a una gavilla $F':O(\beta X)^{\mathrm{op}}\to Set$ . Ver $\beta X$ como el espacio de ultrafiltros en $X$ el tallo de $F'$ en un punto $\mathcal{U} \in \beta X$ es precisamente el ultraproducto $\prod_{i \in X} F_i/\mathcal{U}$ . (Hay una sutil diferencia que se produce cuando algunos de los componentes $F_i$ son vacíos, en cuyo caso este ultraproducto puede seguir siendo no vacío cuando $F(A)$ es no vacía para algún $A \in \mathcal{U}$ .)

Desde un punto de vista más global, la incrustación $X \to \beta X$ induce un morfismo geométrico $Sh(X) \to Sh(\beta X)$ . Del mismo modo, un punto de $\beta X$ puede identificarse con el morfismo geométrico $\mathcal{U}:Set \to Sh(\beta X)$ . El mapa de ultraproductos correspondiente es simplemente la composición $$Sh(X) \to Sh(\beta X) \xrightarrow{\mathcal{U}^*} Set,$$ donde el último componente es la parte de la imagen inversa de $\mathcal{U}$ . El functor de ultrapotencia correspondiente es el compuesto $$Set \xrightarrow{\Delta} Sh(X) \to Sh(\beta X) \xrightarrow{\mathcal{U}^*} Set,$$ donde $\Delta$ es el functor diagonal.

Por supuesto, no hay nada muy especial sobre los espacios discretos en la construcción anterior. La misma construcción existe para cualquier espacio de Hausdorff completamente regular $X$ o, de forma más general, para una localidad completamente regular. (Esto tiene sentido incluso cuando el espacio/localidad $X$ no es completamente regular, pero el mapa $X \to \beta X$ no es necesariamente una incrustación). Por supuesto, el Teorema de Łoś toma una forma diferente para esta construcción más general, la forma correcta del teorema para un espacio/localidad X se puede encontrar a través de la semántica de Kripke-Joyal, por ejemplo.

Answer 3

Las otras respuestas hasta ahora han tomado generalmente los ultrafiltros como un hecho, o han utilizado la compactación Stone-Cech (que tiene una propiedad universal en Top). Me gustaría señalar que el conjunto de ultrafiltros en un conjunto $I$ tiene una interpretación categórica en Sets. En particular, consideremos el diagrama en Conjuntos que consiste en particiones finitas $X_i\subset 2^I$ de $I$ , con una flecha $X_i\to X_j$ si $X_i$ es un refinamiento de $X_j$ la flecha envía un subconjunto de $I$ en $X_i$ al elemento único de $X_j$ que lo contiene. Entonces el conjunto de ultrafiltros en $I$ es el límite inverso de este diagrama.

Answer 4

Me viene a la mente este documento:

Ultrasaltos y doble negación. S. Awodey y J. Eliasson, Notre Dame Journal of Formal Logic 45(4), pp. 235--245 (2004). Disponible en http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/preprints/udn.pdf

Tal vez no sea exactamente lo que se pide, porque el artículo da por supuestos los utrafiltros, pero sin duda ofrece una perspectiva teórica categórica útil.

Answer 5

Para una descripción breve e indolora de cómo los ultraproductos son colímites, véase la página 6 de este artículo (es equivalente, pero me pareció más legible que las descripciones dadas en las respuestas):

H. Mariano, F. Miraglia, Las estructuras profinitas son repliegues de ultraproductos de estructuras finitas , Informes sobre Lógica Matemática 42 (2007) pp169-182 ( abstracto , pdf )

El artículo contiene una bonita aplicación de esta descripción categórica de los ultraproductos...